(0,5 điểm) Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh bằng 20 ( cm )
9/9
(0,5 điểm) Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh bằng \[20(cm)\]. Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để được hình chữ nhật \[MNPQ\]. Tìm độ dài đoạn \[MB\] để hình chữ nhật \[MNPQ\] có diện tích lớn nhất?
Gọi độ dài đoạn \[MB\] là \[x(cm)\], ta có:
Độ dài đoạn \[NC\] là \[x(cm)\]
Độ dài đoạn \[MN\] là \[20 - x - x = 20 - 2x(cm)\]
Tam giác \[BQM\] vuông tại \[M\] có:
\[\tan B = \tan {60^0} = \frac{{QM}}{{BM}} = \frac{{QM}}{x}\]
\[QM = x.\tan {60^0} = x.\sqrt 3 \]
Diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] là: \[S = MN.QM = (20 - 2x).x\sqrt 3 \]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \[S = (20 - 2x).x\sqrt 3 = 2\sqrt 3 (10 - x).x \le 2\sqrt 3 {\left( {\frac{{10 - x + x}}{2}} \right)^2}\]
\[S \le 2\sqrt 3 .25 = 50\sqrt 3 \]
Dấu bằng xảy ra khi \[10 - x = x\] nên \[x = 5\]
Vậy \[MB = 5cm\] để hình chữ nhật \[MNPQ\] có diện tích lớn nhất.