(0,5 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABCD . A ′B' C ′D ′ có đáy là hình thoi

Ta đặt \[AC = 2m;BD = 2n.\]

Diện tích đáy \[ABCD\] là: \[S = \frac{1}{2}.2m.2n = 2mn.\]

Mặt khác: \[S = \frac{V}{h} = \frac{{1280}}{{20}} = 64\left( {c{m^2}} \right)\]

Vậy \[2m.n = 64\left( {c{m^2}} \right).\]

Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng là:

\[{S_{xq}} = 4.AB.20 = 80AB.\]

Vậy \[{S_{xq}}\] nhỏ nhất khi \[AB\] nhỏ nhất.

Gọi \[O\] là giao điểm của hai đường chéo \[AC\] và \[BD\]. Ta có \[AC \bot BD\] tại \[O\].

Xét \[\Delta AOB\] vuông tại \[O\], ta có: \[A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {m^2} + {n^2}.\]

Mặt khác \[{m^2} + {n^2} \ge 2mn\]. Do đó \[A{B^2} \ge 64 \Rightarrow

AB \ge 8\left( {cm} \right).\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[AB\] là \[8cm\] khi \[m = n\] tức là khi \[ABCD\] là hình vuông.

Giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh là  \[4.8.20 = 640\left( {c{m^2}} \right).\]