(0,5 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên đều bằng 6 cm , độ dài cạnh đáy là x ( cm ) . Tìm x để diện tích xung quanh của hình chóp đều đó là lớn nhất.

Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\].

Khi đó \[SM\] là trung đoạn của hình chóp.

Ta có \[AB = BC = AC = x\] thì:

\[S{M^2} = S{B^2} - {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = {6^2} - \frac{{{x^2}}}{4}\]

\[SM = \frac{1}{2}\sqrt {4 \cdot {6^2} - {x^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {144 - {x^2}} \]

Diện tích xung quanh của hình chóp là: \[{S_{xq}} = \frac{{3x}}{2}.\frac{1}{2}\sqrt {144 - {x^2}}  = \frac{{3x}}{4}\sqrt {144 - {x^2}} \]

Vận dụng bất đẳng thức \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\]hay \[ab \le \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}\]ta được: \[x.\sqrt {144 - {x^2}}  \le \frac{{{x^2} + 144 - {x^2}}}{2} = 72\].

Do đó \[{S_{xq}} \le \frac{3}{4}.72 = 54\].

Dấu "=" xảy ra khi\[x = \sqrt {144 - {x^2}}  \Leftrightarrow {x^2} = 144 - {x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 72 \Leftrightarrow x = 6\sqrt 2 \] .