(0,5 điểm) Cho hai số thực a , b thỏa mãn a + b ≠ 0. Chứng minh bất đẳng thức sau: a 2 + b 2 + ( a b + 1 a + b ) 2 ≥ 2.

16/16

(0,5 điểm) Cho hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0.\] Chứng minh bất đẳng thức sau:

\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

Với hai số thực \[a,\,\,b\] thỏa mãn \[a + b \ne 0\], ta có:

\({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 = {a^2} + {b^2} + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)

\( = {a^2} + {b^2} + 2ab - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)

\( = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - 2\)

\( = {\left( {a + b} \right)^2} - 2\left( {ab + 1} \right) + \frac{{{{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

\[ = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^4} - 2{{\left( {a + b} \right)}^2}\left( {ab + 1} \right) + {{\left( {ab + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\].

Với \[a + b \ne 0\] ta có \({\left( {a + b} \right)^2} > 0\) và \[{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]^2} \ge 0\]

Do đó \[\frac{{{{\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {ab + 1} \right)} \right]}^2}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge 0\] nên \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} - 2 \ge 0\) hay \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2.\)

Vậy bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} + {\left( {\frac{{ab + 1}}{{a + b}}} \right)^2} \ge 2\) đã được chứng minh.

làm \ right)}^2}}} {{{{\ left ({a + b} \ right)}^2}}}} \]