(0,5 điểm) Cho các số a , b , c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng T = a 2024 + b 2023 + c 2022 − a b − b c − c a ≤ 1 .

Hướng dẫn giải

Vì \(a,b,c \ge 0\,;\,\,a + b + c = 1\) nên \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\).

Suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \le 0\)

\(abc - \left( {ab + bc + ca} \right) + a + b + c - 1 \le 0\)

\(a + b + c - ab - bc - ac \le 1 - abc \le 1\).

Vì \(0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 1\) nên \({a^{2023}} \le a\,;\,\,{b^{2023}} \le b\,;\,\,{c^{2023}} \le c.\)

Suy ra \(T \le a + b + c - ab - bc - ca \le 1\) hay \[{a^{2024}} + {b^{2023}} + {c^{2022}} - ab - bc - ca \le 1\].

Dấu xảy ra khi \(\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right) \in \left\{ {\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right)\,;\,\,\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,1} \right)} \right\}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.