(0,5 điểm) Bác Nam muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng một nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình c

7/7

(0,5 điểm) Bác Nam muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng một nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài của khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình bên) là $8 m$ . Em hãy tính giúp bác Nam tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Gọi độ dài $I A$ và $A B$ lần lượt là $a, b (0 < a, b < 8)$ .

Vì chu vi của cửa sổ là $8 m$ nên ta có: $π a + (2 a + 2 b) = 8$ .

Suy ra $b = \frac{8 - π a - 2 a}{2}$ .

Diện tích của cửa sổ phần hình chữ nhật là:

$S_{1} = A D . A B = 2 a b = 2 a . \frac{8 - π a - 2 a}{2} = 8 a - (π + 2) a^{2} (m^{2})$ .

Diện tích của cửa sổ mái vòm là: $S_{2} = {\frac{π I A}{2}}^{2} = \frac{π a^{2}}{2} (m^{2})$ .

Diện tích của sổ là:

$S = S_{1} + S_{2} = 8 a - (π + 2) a^{2} + \frac{π a^{2}}{2}$

$S = - \frac{π + 4}{2} \cdot (a^{2} - \frac{16}{π + 4} a)$

$S = - \frac{π + 4}{2} \cdot [{(a - \frac{8}{π + 4})}^{2} - \frac{64}{{(π + 4)}^{2}}]$

$S = \frac{32}{π + 4} - \frac{π + 4}{2} \cdot {(a - \frac{8}{π + 4})}^{2} \geq \frac{32}{π + 4}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $a - \frac{8}{π + 4} = 0$ hay $a = \frac{8}{π + 4}$ , khi đó $b = \frac{8}{π + 4}$ .

Diện tích lớn nhất của cửa sổ là $\frac{32}{π + 4} m^{2}$ .

Vậy hình chữ nhật có các kích thước là $\frac{16}{π + 4}$ và $\frac{8}{π + 4}$ đơn vị độ dài.