Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Hà Nội 2024 - 2025 (Đề 11)

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Để chở 15 tấn thiết bị phục vụ Lễ kỷ niệm 70 năm chiến thắng Điện Biên Phủ, một đội vận chuyển dự định sử dụng các xe tải loại nhỏ. Do thay đổi kế hoạch, đội vận chuyển quyết định chỉ sử dụng các xe tải loại lớn. Vì vậy, số xe tải sử dụng giảm đi 2 xe so với dự định và mỗi xe tải loại lớn chở nhiều hơn mỗi xe tải loại nhỏ là 2 tấn. Hỏi đội vận chuyển sử dụng bao nhiêu xe tải loại lớn? (Biết mỗi xe tải cùng loại đều chở số tấn thiết bị bằng nhau).

2) Một bình đựng nước có dạng hình trụ với bán kính đáy là \(4\) cm và chiều cao là \(25{\rm{\;cm}}{\rm{.}}\) Tính diện tích xung quanh của bình đựng nước đó (lấy \(\pi  \approx 3,14).\)

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {3x + 1}  + 2y = 4}\\{3\sqrt {3x + 1}  - y = 5.}\end{array}} \right.\)

2) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {m - 2} \right)x + 5.\)

a) Chứng minh \[\left( d \right)\] luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right).\) Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \({x_1} + 5{x_2} = 0.\)

Từ điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \(\left( O \right),\) kẻ hai tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn \(\left( O \right)\) \((B,\,\,C\) là hai tiếp điểm).

1) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp.

2) Vẽ đường kính \(BD\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(E\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(AD\) và đường tròn \(\left( O \right).\) Đường thẳng \(BC\) và đường thẳng \(AO\) cắt nhau tại \(H.\) Chứng minh \(A{B^2} = AE \cdot AD = AH \cdot AO\) và \(\widehat {HDO} = \widehat {HBE}.\)

3) Lấy điểm \(M\) thuộc tia đối của tia \(CB.\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB.\) Chứng minh đường thẳng \(BE\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(MN.\) 

Với các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x + y + xy = 3,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{3}{{x + y}} - xy.\)