Vì ME, MF lần lượt là hai tiếp tuyến tại E, F của đường tròn (I) và cắt nhau tại M nên:

⦁ ME ⊥ IE tại E, MF ⊥ IF tại F hay $\widehat{IEM}=90°;\widehat{IFM}=90°;$

⦁ MI là tia phân giác của góc EMF. Do đó $\widehat{EMI}=\frac{1}{2}\widehat{EMF}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Xét tứ giác IEMF có: $\widehat{EIF}+\widehat{IEM}+\widehat{EMF}+\widehat{IFM}=360°$ (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra $\widehat{EIF}=180°-\left(\widehat{IEM}+\widehat{EMF}+\widehat{IFM}\right)$

Hay $\widehat{EIF}=360°-\left(90°+60°+90°\right)=120°.$

b) Vì E thuộc đường tròn (I; 6 cm) nên IE = 6 cm.

Xét ∆IEM vuông tại E, ta có: $\sin \widehat{EMI} =\frac{IE}{MI}$

Suy ra $MI=\frac{IE}{\sin \widehat{EMI}}=\frac{6}{\sin 30°}=12\text{ (cm).}$

Ta có BA, BC là hai tiếp tuyến của đường tròn (D) cắt nhau tại B nên BA = BC hay 4x – 9 = 15, suy ra 4x = 24 nên x = 6.

a) Ta có MA, MB lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; 15 cm) tại A, B và cắt nhau tại M nên MA ⊥ OA, MB ⊥ OB và MA = MB.

Xét ∆OAM vuông tại A, theo định lí Pythagore ta có: OM² = OA² + MA².

Suy ra MA² = OM² – OA² = 35² – 15² = 1 000.

Do đó $MA=\sqrt{1000}\approx 31,6\text{ (cm).}$

Vậy MA = MB ≈ 31,6 cm.

b) Xét ∆OAM vuông tại A, ta có: $\sin \widehat{AMO}=\frac{OA}{OM}=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}.$

Suy ra $\widehat{AMO}\approx 25°{23}^{\text{'}}.$

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; 15 cm) cắt nhau tại M nên MA là tia phân giác của góc AMB.

Do đó $\widehat{AMB}=2\widehat{AMO}\approx 2\cdot 25°{23}^{\text{'}}=50°{46}^{\text{'}}.$

Xét tứ giác OAMB có: $\widehat{OAM}+\widehat{AMB}+\widehat{OBM}+\widehat{AOB}=360°$ (tổng các góc của một tứ giác).

Suy ra $\widehat{AOB}=360°-\left(\widehat{OAM}+\widehat{AMB}+\widehat{OBM}\right)$

Do đó $\widehat{AOB}\approx 360°-\left(90°+50°{46}^{\text{'}}+90°\right)=360°-230°{46}^{\text{'}}=129°{14}^{\text{'}}.$

Xét ∆ABC có:

⦁ AB² + BC² = 9² + 12² = 225;

⦁ AC² = 15² = 225.

Do đó AB² + BC² = AC²,

Theo định lí Pythagore đảo, ta có ∆ABC vuông tại B.

Suy ra AB ⊥ BC hay AB ⊥ OB.

Xét đường tròn (O) có AB ⊥ OB tại B thuộc đường tròn (O) nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Ta có:

⦁ AE, AM là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại A nên AE = AM = 6 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⦁ BM, BP là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại B nên BM = BP = 3 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

⦁ CP, CE là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C nên CP = CE = 8 cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + CA = AM + BM + BP + CP + CE + AE

= 6 + 3 + 3 + 8 + 8 + 6 = 34 (cm).