ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Giới hạn của dãy số

Cho hai dãy số $\left(u_n\right),\left(v_n\right)$ thỏa mãn  $\left|u_n\right|\le v_n$ với mọi n và $\lim u_n=0$ thì:

Cho $n\in N^{\ast }$ nếu $\left|q\right|<1$thì:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$công bội q. Đặt $S=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n+\mathrm{...}$ thì:

Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left(u_n\right)$có công bội $q\left(\left|q\right|<1\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Cho $u_n=\frac{1-4n}{5n}$. Khi đó $lim{u}_n$bằng?

Cho $u_n=\frac{n^2-3n}{1-4n^3}$.  Khi đó $lim{u}_n$bằng?

Cho $u_n=\frac{3^n+5^n}{5^n}$. Khi đó $lim{u}_n$bằng?

Giá trị $\lim \left(n^3-2n+1\right)$ bằng?

$\lim \left(\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}\right)$ bằng

Cho cấp số nhân $u_n=\frac{1}{2^n},\forall n\ge 1$. Khi đó:

Cho các dãy số $u_n=\frac{1}{n},n\ge 1$ và $v_n=n^2,n\ge 1$. Khi đó:

Giới hạn $\lim \frac{2^{n+1}-{3.5}^n+5}{{3.2}^n+{9.5}^n}$ bằng?

Giới hạn $\lim \frac{{\left(2-5n\right)}^3{\left(n+1\right)}^2}{2-25n^5}$ bằng?

Giới hạn $\lim \frac{\sqrt{n^2-3n-5}-\sqrt{9n^2+3}}{2n-1}$bằng?

Giới hạn $\lim \frac{2n^2-n+4}{\sqrt{2n^4-n^2+1}}$ bằng?

Giới hạn $\lim \left(\sqrt{n^2-n}-n\right)$ bằng?

Giới hạn $\lim \left(\sqrt{n^2-n+1}-\sqrt{n^2+1}\right)$ bằng?

Giá trị $\lim \frac{\sin \left(n!\right)}{n^2+1}$ bằng

Tính giới hạn $\lim \frac{n^2-3n^3}{2n^3+5n-2}$

$\lim \frac{n+1}{2n-3}$ bằng

Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$với $u_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\mathrm{....}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$. Khi đó $lim{u}_n$ bằng?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right).\left(2n+1\right)}$

Khi đó $lim{u}_n$ bằng?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$với $u_n=\frac{\left(2n+1\right)\left(1-3n\right)}{\sqrt[3]{n^3+5n-1}}$ Khi đó $lim{u}_n$ bằng?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi  $\left\{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2},\left(n\ge 1\right)\end{array}\right.$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\left|a\right|<1,\left|b\right|<1$. Tìm giới hạn $I=lim\frac{1+a+a^2+\mathrm{...}+a^n}{1+b+b^2+\mathrm{...}+b^n}$.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n-1}{B}_{n-1}{C}_{n-1}\dots .Goi P,P_1,P_2,\mathrm{...},P_n,\mathrm{...}$ là chu vi của các tam giác $ABC,A_1{B}_1{C}_1,A_2{B}_2{C}_2,\mathrm{...},A_n{B}_n{C}_n,\mathrm{...}$ Tìm tổng $P,P_1,P_2,\mathrm{...},P_n,\mathrm{...}$

Dãy số (u_n) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?

Tính giới hạn: $\lim \left[\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\right]$.

Với n là số nguyên dương, đặt  $S_n=\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\sqrt{n+1}+\left(n+1\right)\sqrt{n}}$. Khi đó limS_n bằng

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_1=0 và u_{n+1}=u_n+4n+3, \forall n\ge 1$ Biết

$\lim \frac{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{4n}}+\sqrt{u_{4^{2}n}}+\mathrm{...}+\sqrt{u_{4^{2018}n}}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{2n}}+\sqrt{u_{2^{2}n}}+\mathrm{...}+\sqrt{u_{2^{2018}n}}}=\frac{a^{2019}+b}{c}$với a, b, c là các số nguyên dương và $b<2019$. Tính giá trị $S=a+b-c$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^3-3x^2+\left(2m-2\right)x+m-3=0$ có ba nghiệm $x_1, x_{2,} x_3$ thỏa mãn $x_1<-1<x_2<x_3$.

Tính $\lim \sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2+\mathrm{...}+n^2}{2n\left(n+7\right)\left(6n+5\right)}}$

Đặt $f\left(n\right)={\left(n^2+n+1\right)}^2+1.$.

Xét dãy số (u_n) sao cho $u_n=\frac{f\left(1\right).f\left(3\right).f\left(5\right)\mathrm{...}f(2n-1)}{f\left(2\right).f\left(4\right).f\left(6\right)\mathrm{...}f\left(2n\right)}$ Tính $limn\sqrt{u_n.}$

Tính $\lim n\left(\sqrt{4n^2+3}-\sqrt[3]{8n^3+n}\right)$

Tìm số hữu tỉ biểu diễn số $0,111111\dots$ chu kỳ (1).

Cho hình vuông $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_1$. Nối bốn trung điểm $A_2,B_2,C_2,D_2$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_2$. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông $A_3{B}_3{C}_3{D}_3$ có diện tích $S_3,\dots$ Tính tổng $S_1+S_2+\dots$ bằng

Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m². Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là