ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm
20 câu hỏi
Chọn công thức đúng:
\[\smallint udv = uv + \smallint vdu\]
\[\smallint udv = uv - \smallint vdu\]
\[\smallint udv = \smallint uv - \smallint vdu\]
\[\smallint udv = \smallint uvdv - \smallint vdu\]
Trong phương pháp nguyên hàm từng phần, nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = g\left( x \right)}\\{dv = h\left( x \right)dx}\end{array}} \right.\) thì:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g'\left( x \right)dx}\\{v = \smallint h(x)dx}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g\left( x \right)dx}\\{v = \smallint h(x)dx}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = \smallint g\left( x \right)dx}\\{v = h(x)dx}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = g'\left( x \right)dx}\\{v = h(x)dx}\end{array}} \right.\)
Cho \[F\left( x \right) = \smallint \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\]. Tính \[I = \smallint f(x)dx\;\] theo F(x).
\[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - 2F\left( x \right) + C\]
\[I = F\left( x \right) - \left( {x + 1} \right)f\left( x \right)\]
\[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + C\]
\[I = \left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - F\left( x \right) + C\]
Tìm nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)\]
\[\smallint f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \frac{{{x^3}}}{3} + C\]
\[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9} + C\]
\[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{3} + C\]
\[\smallint f(x)dx = \frac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{{27}} + C\]
Biết \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\] là nguyên hàm của hàm số \[y = (2x + 3).{e^x}\]. Khi đó b−a là
−1
3
11
2
Ta có \[ - \frac{{x + a}}{{{e^x}}}\] là một họ nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \frac{x}{{{e^x}}}\], khi đó:
\[a = 2\]
\[a = - 1\]
\[a = 0\]
\[a = 1\]
Tìm nguyên hàm F(x) của \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} - 1}}{{{e^x}}}.\] biết F(0)=1.
\[F\left( x \right) = \frac{{{2^x} + \ln 2 - 1}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\]
\[F\left( x \right) = \frac{1}{{\ln 2 - 1}}{\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{e}} \right)^x} - \frac{1}{{\ln 2 - 1}}\]
\[F\left( x \right) = \frac{{{2^x} + \ln 2}}{{{e^x}\left( {\ln 2 - 1} \right)}}\]
\[F\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\]
\[\smallint x\sin x\cos xdx\]bằng:
\[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{4}\sin 2x - \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\]
\[ - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\]
\[\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\]
\[ - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\]
Tính \[I = \smallint \cos \sqrt x dx\] ta được:
\[2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x } \right) + C\]
\[2\left( {\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x } \right) + C\]
\[\sqrt x \sin \sqrt x + \cos \sqrt x + C\]
\[\sqrt x \sin \sqrt x - \cos \sqrt x + C\]
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:
F(x) là hàm chẵn.
F(x) là hàm lẻ.
F(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2π.
F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\] thỏa mãn F(0)=0. Tính \[F(\pi )?\]
\[F\left( \pi \right) = - 1\]
\[F\left( \pi \right) = \frac{1}{2}\]
\[F\left( \pi \right) = 1\]
\[F\left( \pi \right) = 0\]
Tính \[I = \smallint x{\tan ^2}xdx\] ta được:
\[ - \frac{1}{2}{x^2} + x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[ - \frac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[\frac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
\[\frac{1}{2}{x^2} - x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[f(x) = \cos 2x\ln \left( {\sin x + \cos x} \right)dx\] là:
\[I = \frac{1}{2}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
\[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{2}\sin 2x + C\]
\[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) - \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
\[I = \frac{1}{4}\left( {1 + \sin 2x} \right)\ln \left( {1 + \sin 2x} \right) + \frac{1}{4}\sin 2x + C\]
Tính \[I = \smallint \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)dx\] ta được:
\[x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C\]
\[\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) - \sqrt {{x^2} + 1} + C\]
\[x\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \sqrt {{x^2} + 1} + C\]
\[\ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + \sqrt {{x^2} + 1} + C\]
Tính \[I = \smallint {e^{2x}}\cos 3xdx\] ta được:
\[\frac{{{e^{2x}}}}{{13}}\left( {2\sin 3x + 3\cos 3x} \right) + C\]
\[\frac{{{e^{2x}}}}{{13}}\left( {3\sin 3x - 2\cos 3x} \right) + C\]
\[\frac{{{e^{2x}}}}{{13}}\left( {2\sin 3x - 3\cos 3x} \right) + C\]
\[\frac{{{e^{2x}}}}{{13}}\left( {3\sin 3x + 2\cos 3x} \right) + C\]
Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{\left( {{x^2} + x} \right){e^x}}}{{x + {e^{ - x}}}}dx\] là:
\[F\left( x \right) = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\]
\[F\left( x \right) = {e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\]
\[F\left( x \right) = x{e^x} + 1 - \ln \left| {x{e^{ - x}} + 1} \right| + C\]
\[F\left( x \right) = x{e^x} + 1 + \ln \left| {x{e^x} + 1} \right| + C\]
Tính \[\smallint \frac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx\]?
\[\frac{x}{{{x^2} + 1}} + C\]
\[\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + C\]
\[\frac{{ - x}}{{{x^2} + 1}} + C\]
\[\frac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}} + C\]
Biết rằng \[x{e^x}\] là một nguyên hàm của hàm số f(−x) trên khoảng \[\left( { - \infty ; + \infty } \right)\]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của \[f\prime \left( x \right){e^x}\;\] thỏa mãn F(0)=1, giá trị của F(−1) bằng:
\[\frac{7}{2}\]
\[\frac{{5 - e}}{2}\]
\[\frac{{7 - e}}{2}\]
\[\frac{5}{2}\]
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 0 \right) = 1,\;F(x) = f(x) - {e^x} - x\;\] là một nguyên hàm của f(x). Họ các nguyên hàm của f(x) là:
\[\left( {x + 1} \right){e^x} + C\]
\[\left( {x + 1} \right){e^x} - x + C\]
\[\left( {x + 2} \right){e^x} - x + C\]
\[\left( {x + 1} \right){e^x} + x + C\]
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \[f\left( 1 \right) = 0,\;F(x) = {[f(x)]^{2020}}\] là một nguyên hàm của \[2020x.{e^x}\]. Họ các nguyên hàm của \[{f^{2020}}(x)\;\] là:
\[2020\left( {x - 2} \right){e^x} + C\]
\[x{e^x} + C\]
\[2020\left( {x + 2} \right){e^x} + C\]
\[\left( {x - 2} \right){e^x} + C\]
