Đề thi Toán ĐGNL Đại học Sư phạm Hà Nội 2025 có đáp án
25 câu hỏi
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} - 2x + m}}{{x - 1}}\] tiệm cận đứng. Khi đó tập hợp S bằng
R\{1}.
R\{0}.
R\{-1}.
R.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, AC = 2a, BD = 3a, \[AC \bot BD\] và SA vuông góc với mặt phẳng (4BCD). Biết góc α giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy thỏa mãn \[\cot \alpha = 3\]. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
\[\frac{{{a^3}}}{{12}}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{3}.\]
\[\frac{{{a^3}}}{4}.\]
\[\frac{{2{a^3}}}{3}.\]
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và SA = SC, SB = SD. Phát biểu nào sau đây là đúng?
\[SO \bot \left( {ABCD} \right)\]
\[AD \bot \left( {SAB} \right)\]
\[SA \bot AC\]
\[SA \bot BC\]
Tổng các nghiệm của phương trình \[{e^{{x^2}}} = {e^{3x - 2}}\] bằng
1.
2.
0.
3.
Bạn Minh định làm một vật thể có dạng hình trụ tròn xoay với bán kính đáy bằng 2 cm sao cho diện tích xung quanh của hình trụ bằng tổng diện tích hai mặt đáy của nó. Thể tích của khối trụ này bằng
4π cm3.
6π cm3.
8π cm3.
16π cm3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-1;3;4). Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(-1;3;4) trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (ABC) là
\[\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 0.\]
\[\frac{x}{{ - 1}} + \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 0.\]
\[\frac{x}{1} + \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = 1.\]
\[\frac{x}{1} - \frac{y}{3} - \frac{z}{4} = - 1.\]
Cho hàm số \[f\left( x \right) = x{e^{ - 2x}}\]. Tập nghiệm của phương trình \[f\left( x \right) = 0\] là
{1}.
\[\left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\]
{0}.
\[\left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\]
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 2025, công bội q. Đặt \[S = 4{u_2} + 5{u_3}\]. Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của q là
- 2025.
\[\frac{4}{5}\]
\[\frac{2}{5}\]
\[\frac{{ - 2}}{5}\]
Tập nghiệm của bất phương trình \[{\log _2}\left( {x - 1} \right) < - 1\] là
\[\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right).\]
\[\left( {1; + \infty } \right).\]
\[\left( {1;\frac{3}{2}} \right).\]
\[\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right).\]
Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên và diện tích hai phần tô đậm lần lượt là S1 = 10 và S2 = 3. Giá trị của \[\int_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx\] bằng
![Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên và diện tích hai phần tô đậm lần lượt là S1 = 10 và S2 = 3. Giá trị của \[\int_{ - 1}^2 {f\left( x \right)} dx\] bằng (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid0-1750473837.png)
7.
– 7.
5.
13.
Phương trình \[\sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\] có tập nghiệm là
\[\left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
\[\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\]
Xét hai biến cố độc lập A, B thỏa mãn P(A) = 0,2 và P(B) = 0,3. Xác suất của biến cố \[A \cup \overline B \] bằng
0,14.
0,44.
0,76.
0,9.
Biểu đồ dưới đây thể hiện chi phí hoạt động của 4 công ty A, B, C, D cho ba hạng mục: Nhân sự, đầu tư và vận hành trong năm 2024 (đơn vị: tỉ đồng). 
Chọn ngẫu nhiên một công ty trong các công ty đó. Xác suất để công ty được chọn ra có chi phí trung bình của ba hạng mục lớn hơn 154 tỉ đồng là
\[\frac{1}{4}\]
\[\frac{1}{2}\]
\[\frac{2}{3}\]
\[\frac{3}{4}\]
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
(1:2).
\[\left( { - \infty ;1} \right)\]
(0:1).
(-1;0).
Giá trị của m để hai mặt phẳng \[\left( \alpha \right):7x - 3y + mz - 5 = 0\] và \[\left( \beta \right):x - 3y + 4z + 1 = 0\] vuông góc với nhau là
- 1.
1.
- 4.
4.
Hàm số \[f\left( x \right) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\] có một nguyên hàm là
\[{F_1}\left( x \right) = \frac{2}{{{x^3}}}.\]
\[{F_3}\left( x \right) = x + \frac{2}{{{x^3}}}.\]
\[{F_4}\left( x \right) = \frac{2}{x}.\]
\[{F_2}\left( x \right) = x + \frac{1}{x}.\]
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai trạm phát sóng wifi với ranh giới vùng phủ sông của trạm thứ nhất, trạm thứ hai lần lượt cho bởi các mặt cầu
\[\left( {{S_1}} \right):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 22725;\left( {{S_2}} \right):{\left( {x - 1005} \right)^2} + {\left( {y - 219} \right)^2} + {\left( {z - 15} \right)^2} = 22725.\]
Coi mặt đất là một phần của mặt phẳng tọa độ (Oxy), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là mét.
a) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ nhất là hình tròn (C1) có bán kính bằng 150 m.
b) Phần phủ sóng trên mặt đất của trạm thứ hai là hình tròn (C2) có bản kính bằng 150 m. c) Khoảng cách giữa tâm của hình tròn (C1) và tâm của hình tròn (C2) bằng 1020 m.
d) Giả sử có một thiết bị (coi như một điểm) di chuyển trên mặt đất với tốc độ 1,5 m/giây. Thời gian ít nhất cần phải có để thiết bị đó di chuyển trên mặt đất từ một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ nhất đến một vị trí thuộc vùng phủ sóng của trạm thứ hai là 480 giây.
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở từng câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính AB = 6 cm và một dây cung CD song song với AB. Quay hình thang ABDC quanh đường thẳng AB để tạo thành chi tiết máy. có dạng khối tròn xoay.
![Người ta mô phỏng cách chế tạo một chi tiết máy như sau: Vẽ nửa đường tròn đường kính AB = 6 cm và một dây cung CD song song với AB. Quay hình thang ABDC quanh đường thẳng AB để tạo thành chi tiết máy. có dạng khối tròn xoay. Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm của đoạn thẳng AB (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử D(a;b) với 0 < a < 3. a) Ta có \[{a^2} + {b^2} = 36\]. b) Phương trình đường thẳng BD là \[y = \frac{b}{{a - 3}}\left( {x - 3} \right).\] c) Thể tích chi tiết máy là \[V = \pi \left( {\int\limits_0^a {{b^2}dx + \int\limits_a^3 {\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx} } } \right)\left( {c{m^3}} \right).\] d) Khi dây cung CD thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn 85 cm3. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid1-1750474242.png)
Xét hệ tọa độ Oxy với O là trung điểm của đoạn thẳng AB (như hình minh họa bên), đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là centimét. Giả sử D(a;b) với 0 < a < 3.
a) Ta có \[{a^2} + {b^2} = 36\].
b) Phương trình đường thẳng BD là \[y = \frac{b}{{a - 3}}\left( {x - 3} \right).\]
c) Thể tích chi tiết máy là \[V = \pi \left( {\int\limits_0^a {{b^2}dx + \int\limits_a^3 {\frac{{{b^2}}}{{{{\left( {a - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx} } } \right)\left( {c{m^3}} \right).\]
d) Khi dây cung CD thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích chi tiết máy nhỏ hơn 85 cm3.
Đối với câu dưới đây, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải. Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên dương khác nhau đôi một không vượt quá 12. Hỏi xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh của một tam giác bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Đối với câu dưới đây, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 12y + 6z + 24 = 0\]. Xét hai điểm M,N thuộc (S) sao cho MN = 8 và ON2 – OM2 = 112. Hỏi khoảng cách từ điểm 0 đến đường thẳng MN bằng bao nhiêu?
Đối với câu dưới đây, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Bạn An dự định làm một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ tam giác đều sao cho thể tích của khối lăng trụ đó bằng 40 cm3. Bạn An muốn sơn màu tất cả các mặt của chiếc hộp đó. Hỏi tổng diện tích của tất cả các mặt được sơn màu nhỏ nhất là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đối với câu dưới đây, thí sinh chỉ viết kết quả, không trình bày lời giải.
Bác Dũng gửi tiết kiệm vào một tài khoản ngân hàng theo kì hạn 1 tháng. Biết rằng số tiền trong tài khoản sau x tháng (\[x \in N*\]) được tính bằng công thức \[f\left( x \right) = 50.{\left( {1,004} \right)^x}\] (triệu đồng) và bác Dũng không rút tiền khỏi ngân hàng trong suốt quá trình gửi. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng, số tiền trong tài khoản đó của bác Dũng vượt quá 52 triệu đồng?
Một trường học có 60% học sinh là nữ, 40% học sinh là nam. Sau khi thống kê kết quả học tập cuối năm, người ta thấy rằng trong số học sinh nữ có 45% đạt kết quả học tập xếp loại tốt, trong số học sinh nam có 40% đạt kết quả học tập xếp loại tốt. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường. Tính xác suất để học sinh đó là nam, biết rằng học sinh đó đạt kết quả học tập xếp loại tốt (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, \[\widehat {BAD} = 120^\circ \], cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) được cho bởi hình bên.
![Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và đồ thị hàm số y = f '(x) được cho bởi hình bên. Giả sử \[f'\left( x \right) > x + 2,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\]và \[f'\left( x \right) < x + 2,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)\]. Xét hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x + 2} \right)^2},x \in \left[ { - 2;3} \right]\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;3], biết rằng f(−2) = 1. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid4-1750474753.png)
Giả sử \[f'\left( x \right) > x + 2,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\]và \[f'\left( x \right) < x + 2,\forall x \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right)\].
Xét hàm số \[g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {\left( {x + 2} \right)^2},x \in \left[ { - 2;3} \right]\].
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [-2;3], biết rằng f(−2) = 1.