Dạng 2: Lợi dụng các đường đồng quy trong tam giác: đồng quy tại trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có đáp án

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S.Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy.

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.

Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC. đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại. D. đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại S. Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MCID là tứ giác nội tiếp.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. Chứng minh rằng $\Delta ABT\Delta BDT.$  

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. Chứng minh rằng : AB.CD = BD.AC

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O;R) cắt nhau tại T, đường thẳng AT cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D khác A. Chứng minh rằng hai đường phân giác góc BAC; BDC và đường thẳng BC đồng quy tại một điểm

Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. Chứng minh:  $A{B}^2=AE.BF$

Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt AE, BF tại C và D. Chứng minh C và D là trung điểm của AE và BF.

Cho nửa đường tròn ( O) đường kính AB. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By. Lấy M trên đường tròn sao cho AM < BM. AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E. Chứng minh các đường thẳng AB, CD, EF đồng quy.

Cho tam giác  ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O); vẽ $OM\perp BC$tại M. Chứng minh rằng $OM=\frac{1}{2}AH$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) ; vẽ $OM\perp BC$tại M. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng H,G,O  thẳng hàng và $HG=2GO$.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ đường kính AD của đường tròn (O) ; vẽ $OM\perp BC$tại M.Gọi B',C' lần lượt là trung điểm của các cạnh CA,AB . Đường thẳng $d_1$ qua M song song với OA, đường thẳng $d_2$qua B' song song với OB, đường thẳng $d_3$ qua C' song song với OC .Chứng minh rằng các đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ đồng qui.

Trên các cạnh $AB,BC$ của tam giác ABC dựng ra phía ngoài tam giác các hình vuông $AC{A}_1{A}_2$và $BC{B}_1{B}_2$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A{B}_1,A_{1}B,A_2{B}_2$ đồng quy

Cho đường tròn (O;R) , đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( khác  và ). Kẻ AH vuông góc với BC (Hthuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại $D,E,F$. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp

Cho đường tròn $(O;R)$, đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại $D,E,F$. Chứng minh OA vuông góc với DE

Cho đường tròn (O;R), đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với  BC ( H thuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại D,E,F. Chứng minh các đường thẳng $AF,DE,BC$ đồng quy

Cho đường tròn (O;R), đường kính BC, A là điểm trên đường tròn ( A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB,AC và đường tròn (O) tại $D,E,F$. Cho biết sđ $\stackrel{⏜}{AB}=60°$. Tính theo R diện tích tứ giác BDEC

Cho tam giác ABC vuông tại A, I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D.Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn

Cho tam giác vuông tại ABC, A,I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D. Chứng minh DB là phân giác của góc ADE.

Cho tam giác ABC vuông tại A,I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt BI ở D. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Cho tam giác ABC vuông tại A,I là một điểm trên cạnh AC. Đường tròn đường kính IC cắt BC ở E và cắt  BI ở D. Chứng minh $AB,CD,EI$ đồng qui.

Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại D.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng:$\Delta ABC\backsim \Delta DMC$. Suy ra $AB.MC=BC.DM$

Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại D.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng: Các tứ giác ABDM và AECB nội tiếp

Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại M.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng:$AB\text{//}EF$

Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh AC lấy điểm M không trùng với A và C.Vẽ đường tròn đường kính MC, cắt cạnh BC tại M.Các đường thẳng BM và AD lần lượt cắt đường tròn tại các điểm E,F. Chứng minh rằng: Các đường thẳng $AB,CE,MD$ đồng quy.

Hai đường tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O\text{'};r\right)$ tiếp xúc ngoài tại $C\left(R>r\right)$ gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. Tứ giác ADBE là hình gì? Vì sao?

Hai đường tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O\text{'};r\right)$ tiếp xúc ngoài tại $C\left(R>r\right)$gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. Chứng minh ba điểm B, F, E thẳng hàng

Hai đường tròn $\left(O;R\right)$ và $\left(O\text{'};r\right)$ tiếp xúc ngoài tại $C\left(R>r\right)$ gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. DB cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai là G. Chứng minh DF, EG và AB đồng quy

Hai đường tròn (O;R) và (O';r) tiếp xúc ngoài tại $C\left(R>r\right)$ gọi AC và BC là hai đường kính đi qua C của đường tròn (O) và (O'). DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Tia DC cắt đường tròn (O') tại điểm thứ 2 là F. Chứng minh MF là tiếp tuyến của (O')

Cho ∆ABC (AC > AB,$\widehat{BAC}={90}^0$  ). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. Chứng minh B, C, D thẳng hàng

Cho ∆ABC (AC > AB, $\widehat{BAC}={90}^0$). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiép

Cho ∆ABC (AC > AB,$\widehat{BAC}={90}^0$  ). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy.

Cho ∆ABC (AC > AB, $\widehat{BAC}={90}^0$ ). Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểmt hứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, hãy so sánh DH và DE.

Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng :Các tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp

Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng :AD.AB = AG.AE

Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng :AC//FG

Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn (O) đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là F, G. Chứng minh rằng : AC, DE và BF đồng quy.