Dạng 1: Tứ giác nội tiếp có đáp án

Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) là tiếp điểm. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M rồi kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh BC, CA, AB. Gọi giao điểm của BM và IK là P; giao điểm của CM, IH là Q.

a)    Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được;

b, Chứng minh MI² = MH.MK;

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai  MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm).AC cắt OM tại E ; MB cắt nửa đường tròn (O)  tại D ( D khác B ).

a) Chứng minh: $AMCO$ và $AMDE$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội tiếp (xem cách giải Bài 3)

Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia  AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F ( F ở giữa B và E)

1. Chứng minh:$\widehat{ABD}=\widehat{DFB}$.

2. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ $AH\perp BC$. Nửa đường tròn đường kính BH,  CH lần lượt có tâm $O_1$; $O_2$ cắt $AB$ và CA thứ tự tại D và E.

a) Chứng minh tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết  $R=25$và $BH=10$

b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn.

Từ bài toán quen thuộc cho (O,R). Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ tiếp tuyến Ax và By với (O), lấy N thuộc (O), kẻ tiếp tuyến với (O) tại N cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi I và K lần lượt là giao điểm của AN và CO, MN và OD. Chứng minh NIOK là hình chữ nhật.

Ta có bài toán sau:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng QA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ QA và  B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh $ACNM$ và $BDNM$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh  $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta CMD$ từ đó suy ra $IMKN$ là tứ giác nội tiếp.

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.

Ta có : Tứ giác ABCD nội tiếp (O)Ta phải chứng minh:  AC. BD = AB. DC + AD. BC