Dạng 1: Lý thuyết chứng minh đẳng thức hình học có đáp án

Cho điểm nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ các tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D),OM cắt AB và (O) lần lượt tại H và I . Chứng minh:
a/$MAOB$ nội tiếp.

Chứng minh: b, MC. MD=$M{A}^2$

c, Chứng minh: $OH.OM+MC.MD=M{O}^{2 }$

d/ CI là tia phân giác của góc góc $\stackrel{⏜}{MCH}$ .

Cho đường tròn tâm O , đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn(O)  tại A lấy điểm  M$\left(M\ne A\right)$ . Từ  vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với (O) ( C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông góc vớiAB$\left(H\in AB\right)$,MB  cắt (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại K. Chứng minh rằng:

a/ $AKNH$nội tiếp.

b, Chứng minh rằng: $A{M}^2=MK.MB$

c, Chứng minh rằng: $\widehat{KAC}=\widehat{OMB}$

d/ N là trung điểm của CH.

Cho đường tròn (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến  AB và AC với đường tròn. Kẻ dây $CD\text{//}AB$. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh:

a/ $ABOC$ nội tiếp.

Chứng minh:

b/ $A{B}^2=AE.AD.$

Chứng minh:

c/ $\Delta BDC$ cân.

d/ CE kéo dài cắt AB ở I . Chứng minh IA=IB .

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB;  IK vuông góc với AD ($H\in AB;K\in AD$).

a) Chứng minh tứ giác $AHIK$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng $IA.IC=IB.ID$

c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.

Cho $∆ABC$ có ba góc nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm  D và E Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng  CD và BE

a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

b) Gọi M là giao điểm của AH và BC Chứng minh CM.CB=CE.CA

c) Chứng minh ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Cho  $\Delta ABC$có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) . Đường cao CD của $\Delta ABC$ cắt đường tròn (O)  tại E. Từ B kẻ $BF\perp AE$ tại F.

a) Chứng minh tứ giác $BDEF$ nội tiếp được đường tròn.

b) Kẻ đường cao BK của $\Delta ABC$. Chứng minh: $\frac{EF}{BF}=\frac{CK}{BK}$.

c) Chứng minh: $\frac{AE}{BF}+\frac{AC}{BK}=\frac{AF}{BF}+\frac{AC}{BK}$.

d) Chứng minh: $\frac{CE}{BD}=\frac{AE}{BF}+\frac{AC}{BK}$

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R, dây cung AC. Gọi  M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C  song song với  BM cắt tia AMở Kvà cắt tia OMở D,  cắt AC tại  H.

1. Chứng minh tứ giác $CKMH$ nội tiếp.

2. Chứng minh $CD=MB$  và  $DM=CB$

3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O)để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Cho đường tròn tâm O đường kính A, M là một điểm nằm trên đoạn thẳng OB ( M khác O  và B ). Đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB cắt (O) tại C, D. Trên tia MD lấy E  nằm ngoài (O). Đường thẳng AE cắt (O) tại điểm I khác A, đường thẳng BE cắt (O) tại điểm K khác B. Gọi  H là giao điểm của BI và. Chứng minh:

a) Tứ giác $MBEI$ nội tiếp. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đó.

b) Các tam giác IEH và MEA đồng dạng với nhau.

c, Chứng minh:$EC.ED=EH.EM$

d) Khi E thay đổi trên, đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M khác O, đường thẳng CM cắt đường tròn tại N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến với dường tròn tại N ở điểm P.

a) Chứng minh: Tứ giác $OMNP$ nội tiếp.

b) Chứng minh: $\Delta MCO=\Delta OPM$ , suy ra OMPD là hình chữ nhật.

c) Chứng minh: $CM\text{//}OP$ .

c) Chứng minh: $CM\text{//}OP$ .

d) Tính tích CM.CN theo R .

Cho đường tròn (O,R) và AB dây , vẽ đường kính CD vuông góc với AB tại K ( D thuộc cung nhỏ AB). Lấy điểm  thuộc cung nhỏ BC , DM cắt  AB tại F.

a. Chứng minh tứ giác $CKFM$nội tiếp.

b. Chứng minh: $DF.DM=A{D}^2$.

c. Tia cắt CM đường thẳng AB tại E. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AF tại I. Chứng minh: IE=IF

d. Chứng minh: $\frac{FB}{EB}=\frac{KF}{KA}$

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. Dựng đường tròn tâm O đường kính AH  cắt AB tại E , AC cắt tại F . Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại E, F lần lượt cắt cạnh BC tại M và N.

a) Chứng minh rằng tứ giác $MEOH$ nội tiếp

b) Chứng minh rằng $AB.HE=AH.HB$

c) Chứng minh ba điểm $E,O,F$ thẳng hàng.

d) Cho $AB=2\sqrt{10}cm$, $AC=2\sqrt{15}cm$. Tính diện tích $\Delta MON$.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại  B với đường tròn (O) cắt tia CA tại D. Trên cạnh AB lấy điểm E ( E không trùng với A và B). Tia CE cắt đường tròn (O) tại F và cắt BD tại K. Tia BF cắt CD tại M.

a) Chứng minh $\Delta MAB\backsim \Delta MFC$.

b) Chứng minh tứ giác $AFKD$ nội tiếp.

c) Tứ giác MDBH là hình gì?

d) Chứng minh $AB.EB+CE.CF=B{C}^2$

Cho đường tròn (O,R) và hai đường kính AB,CD bất kì. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E,F. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của các đường thẳng AE, AF.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

b) Chứng minh rằng  $CE.DF.EF=A{B}^3$và $\frac{B{E}^3}{B{F}^3}=\frac{CE}{DF}$

c) Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA

Cho đường tròn (O,R) đường kính AB=2R dây cung MN của (O) vuông góc AB với tại I sao cho IA<IB. Trên đoạn MI  lấy điểm $E(E\ne M,E\ne I)$. Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh tứ giác $IEKB$ nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh $A{M}^2=AE.AK.$

c) Chứng minh $AE.AK+BI.BA=4R^2.$

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E (khác với điểm A). Tiếp tuyến kẻ từ điểm E cắt các tiếp tuyến kẻ từ điểm A và B của nửa đường tròn (O) lần lượt tại C và D. Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm E.

a) Chứng minh rằng tứ giác ACMO nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng $\frac{DM}{DE}=\frac{CM}{CE}$

c) Chứng minh rằng khi điểm E thay đổi trên tia đối của tia AB, tích AC.BD không đổi.