Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x+y+z+t=2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt}$

Cho a, b, c là ba số thực dương. CMR:$\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge a^3+b^3+c^3$

Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=2017$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{2a+3b+3c}+\frac{1}{3a+2b+3c}+\frac{1}{3a+3b+2c}$

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}$

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=3$ và $c\le a.$

Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức $P=\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2}{{\left(b+1\right)}^2}+\frac{3}{{\left(c+1\right)}^2}.$

Tìm các chữ số a, b, c biết $\overline{abc}-\overline{ac}=2.\overrightarrow{cb}+\overrightarrow{bc}$.

Cho $a,b,c$ là ba số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh $a+2b+c\ge 4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right).$

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa mãn: $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}$.

Cho các số thực $a,b,c$ thay đổi luôn thỏa mãn: $a\ge 1,b\ge 1,c\ge 1$ và $ab+bc+ca=9$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$.

Cho hai số $x>0,y>0$. Chứng minh rằng  $\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\cdot$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le \frac{8}{3}\cdot$

Cho $x\in ℝ$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x^4+3x^2+4}{x^2+1}$

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=1.

Chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a}{1-a}}+\sqrt{\frac{b}{1-b}}+\sqrt{\frac{c}{1-c}}>2$.

Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(1-x^2{y}^2\right)}{{\left(1+x^2\right)}^2{\left(1+y^2\right)}^2}$ 

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện $x+y\le 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy$

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' nội tiếp mặt cầu tâm O (các đỉnh của hình hộp chữ chữ nhật nằm trên mặt cầu). Các kích thước của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c. Gọi $S_1$ là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, $S_2$ là diện tích mặt cầu. Tìm mối liên hệ giữa a,b, c để tỉ lệ $\frac{S_1}{S_2}$ lớn nhất.

Cho các số thực x, y thỏa mãn x+y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=x^3+y^3+x^2+y^2$.

Cho x, y, z là ba số thực dương, thoả mãn: xy+yz+xz=xyz.

Chứng minh rằng: $\frac{xy}{z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{yz}{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{zx}{y^3\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\ge \frac{1}{16}$

Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện $x+y\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}$.

Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x-y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=3x^2+y^2+8$.

Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C=x^2+y^2+xy$

Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x+y+z=3.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+3xz}+\sqrt{\frac{y^2+yz}{2}}$.