Bài 2: Giới hạn của hàm số

Xét hàm số fx = 2x2-2xx - 1

1. Cho biến x những giá trị khác 1 lập thành dãy số xn, xn → 1 như trong bảng sau:

Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số

f(x1), f(x2),…, f(xn), …

cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là f(xn).

a) Chứng minh rằng f(xn) = 2xn = (2n + 2)/n.

b) Tìm giới hạn của dãy số f(xn).

2. Chứng minh rằng với dãy số bất kì xn, xn ≠ 1 và xn → 1, ta luôn có f(xn) → 2.

(Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số fx = 2x2-2xx - 1 có giới hạn là 2 khi x dần tới 1).

Trong biểu thức (1) xác định hàm số y = f(x) ở Ví dụ 4, cần thay 2 bằng số nào để hàm số có giới hạn là -2 khi x → 1?

Cho hàm số f(x) = 1/(x-2) có đồ thị như ở Hình 52

Quan sát đồ thị và cho biết:

- Khi biến x dần tới dương vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

- Khi biến x dần tới âm vô cực, thì f(x) dần tới giá trị nào.

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau: limx→4 x+13x - 2

Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau: limx→+∞ 2 - 5x2x2 + 3

Tính các giới hạn sau: limx→-3 x2-1x + 1

Tính các giới hạn sau: limx→-2 4-x2x +2

Tính các giới hạn sau: limx→6 = x+3 - 3x - 6

Tính các giới hạn sau: limx→+∞ 2x - 64-x

Tính các giới hạn sau: limx→+∞ 17x2 + 1

Tính các giới hạn sau: limx→+∞ -2x2 + x - 13 + x

Tìm các giới hạn sau limx→2 3x - 5x - 22

Tìm các giới hạn sau limx→1- 2x - 7x - 1

Tìm các giới hạn sau limx→1+ 2x - 7x -1

Cho hàm số fx = x + 2x2 - 9 có đồ thị như trên hình 53.

a. Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số cho khi:

x →- ∞,x →3-,x →-3+

b. Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau:

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d' lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và ảnh A'B' của nó tới quang tâm O của thấu kính (hình dưới).

Tính: limx→+∞ x4 - x2 +x - 1

Tính: limx→-∞ -2x3 + 3x2 - 5

Tính: limx→-∞ x2 - 2x + 5

Tính: limx→+∞ x2 + 1 + x5 - 2x