Bài 2: Dãy số

 Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ:

- Hàm số cho bằng công thức:

Ví dụ:

a)Năm số hạng đầu: 

Số hạng tổng quát của dãy số: 

b)Năm số hạng đầu: 1;4;7;10;13

Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1(n ∈ N)

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55

a)u(n+1) = 1 + 1/(n+1); v(n+1) = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4

b) Ta có:

⇒ u(n+1) < un, ∀n ∈ N*

v(n+1) - vn = (5n + 4) - (5n - 1) = 5 > 0

⇒ v(n+1) > vn ,∀n ∈ N*

a. u1 = - 1, un + 1 = un + 3 với n > 1

u1 = - 1;

u2 = u1 + 3 = -1 + 3 = 2

u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5

u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8

u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 (1)

+ Khi n = 1 thì u1 = 3.1 - 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3k – 4.

+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: uk+1 = 3(k+1) - 4

Thật vậy,ta có : uk + 1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

⇒ (1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

a. Năm số hạng đầu của dãy số

b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số:

un =√(n+8) (1)

Rõ ràng (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8)

⇒ (1) đúng với n = k + 1

⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*.

Với mọi n ∈ N ta có:

⇒ (un) là dãy số giảm.

Với mọi n ∈ N có:

⇒ (un) là dãy số tăng.

 un = (-1)n.(2n + 1)

Nhận xét: u1 < 0, u2 > 0, u3 < 0, u4 > 0, …

⇒ u1 < u2, u2 > u3, u3 < u4, …

⇒ dãy số (un) không tăng, không giảm.

với n ∈ N*, n ≥ 1

Xét:

⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un

Vậy (un) là dãy số giảm

un = 2n2 – 1

+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n2 ≥ 1

⇒ un = 2n2 – 1 ≥ 2.12 – 1 = 1.

⇒ un ≥ 1

⇒ dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

+ (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = 2n2 – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Ta có :  ∀ n ≥ 1.

⇒ (un) bị chặn dưới

 ∀ n ≥ 1.

⇒ (un) bị chặn trên.

Vậy (un) là dãy bị chặn.

+ Ta có : 2n2 – 1 > 0 ∀ n ∈ N*

⇒  ∀ n ∈ N*.

⇒ (un) bị chặn dưới.

+ 2n2 – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1

⇒  ∀ n ∈ N*

⇒ (un) bị chặn trên.

Vậy (un) bị chặn.

un = sin n + cos n.