Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Đặt vế trái bằng $S_n$. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có  với k ≥ 1.

Ta phải chứng minh 

Thật vậy 

Đặt vế trái bằng $S_n$

Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1

Giả sử đã có  với k ≥ 1. Ta phải chứng minh

Thật vậy, ta có

$S_{k + 1} = S_k + {\left[2\left(k + 1\right) - 1\right]}^2 = S_k + {\left(2k + 1\right)}^2$

Đặt vế trái bằng $A_n$

Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có 

Ta có:

Với n = 1 thì $2^{1 + 2} = 8 > 7 = 2.1 + 5$

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là 2k + 2 > 2k + 5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,

tức là 2k + 3 > 2(k + 1) + 5 hay 2k + 3 > 2k + 7(2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2k + 3 > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3

Vì 2k + 3 > 0 nên 2k + 3 > 2k + 7(đpcm)

Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n ≥ 3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

Với n = 3 hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì $2^3 = 8 > 2.3 + 1 = 7$

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là $2^k > 2k + 1$ (1)

ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là

$2^{k + 1} > 2k + 3$(2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

$2^{k + 1} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k – 1 > 2k + 3$.

a) Tính

b) Viết lại

Ta có thể dự đoán