Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
9 câu hỏi
Chứng minh đẳng thức sau (với n ∈ N∗) 2 +5 + 8 + ... + (3n - 1) = 33n+12
Đặt vế trái bằng Sn. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có 
với k ≥ 1.
Ta phải chứng minh 
Thật vậy
Chứng minh đẳng thức sau (với n ∈ N∗) 12 + 32 + 52 +...+ 2n-12 = n4n2 - 13
Đặt vế trái bằng Sn
Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng 1
Giả sử đã có 
với k ≥ 1. Ta phải chứng minh
Thật vậy, ta có
Sk + 1 = Sk + 2k + 1 - 12 = Sk + 2k + 12
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N*) 13 + 23 + 33 +... +n3 = n2n+124
Đặt vế trái bằng An
Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có 
Ta có:
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ ta có 2n3 − 3n2 + n chia hết cho 6
Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ ta có 11n + 1 + 122n−1 chia hết cho 133.
Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗) 2n + 2 > 2n + 5
Với n = 1 thì 21 + 2 = 8 > 7 = 2.1 + 5
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là 2k + 2 > 2k + 5 (1)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,
tức là 2k + 3 > 2(k + 1) + 5 hay 2k + 3 > 2k + 7(2)
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được
2k + 3 > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3
Vì 2k + 3 > 0 nên 2k + 3 > 2k + 7(đpcm)
Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N∗) sin2nα + cos2nα ≤ 1.
Với giá trị nào của số tự nhiên n ta có 2n > 2n + 1
Dùng phép thử với n = 1, 2, 3, 4 ta dự đoán: Với thì n ≥ 3 bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.
Với n = 3 hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì 23 = 8 > 2.3 + 1 = 7
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là 2k > 2k + 1 (1)
ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là
2k + 1 > 2k + 3 (2)
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được
2k + 1 > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k – 1 > 2k + 3.
Cho tổng: Sn = 11.5 + 15.9 + ... + 14n-34n+1
a) Tính S1, S2, S3, S4;
b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
a) Tính
b) Viết lại
Ta có thể dự đoán 
