30 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Đạo hàm có đáp án

Cho hàm số f(x) là hàm số trên \(\mathbb{R}\) định bởi \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}\] và \[{{\rm{x}}_0} \in \mathbb{R}\]. Chọn câu đúng

Khi tính đạo hàm của hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5x}} - 3\] tại điểm \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = 2}}\], một học sinh đã tính theo các bước sau:

Bước 1: \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{2}} \right){\rm{ = f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{11}}\]

Bước 2: \[\frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - {\rm{f}}\left( {\rm{2}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{2}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 5x}} - {\rm{3}} - {\rm{11}}}}{{{\rm{x}} - {\rm{2}}}}{\rm{ = }}\frac{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{2}}} \right)\left( {{\rm{x + 7}}} \right)}}{{{\rm{x}} - {\rm{2}}}}{\rm{ = x + 7}}\]

Bước 3: \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \frac{{{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) - f\left( 2 \right)}}{{{\rm{x}} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 2} \left( {{\rm{x}} + 7} \right) = 9 \Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\rm{2}} \right) = 9\]

Tính toán trên nếu sai thì sai ở bước nào?

Cho hàm số f(x) liên tục tại \[{x_0}\]. Đạo hàm của f(x) tại x₀ là

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \sqrt {4 - x} \,\,khi\,\,x \ne 0}\\{1\,\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Khi đó f′(0) là kết quả nào sau đây?

Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{\frac{1}{4}\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\]. Tính f′(0).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x \,\,khi\,\,x > 1}\\{{x^2}\,\,khi\,\,x \le 1}\end{array}} \right.\). Tính f′(1) ?

Tính tỷ số \[\frac{{{\rm{\Delta y}}}}{{{\rm{\Delta x}}}}\] của hàm số \[{\rm{y = 2}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}\] theo x và \[\Delta x\]

Tính tỷ số \[\frac{{{\rm{\Delta y}}}}{{{\rm{\Delta x}}}}\] của hàm số \[{\rm{y = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}\] theo x và \[\Delta x\]

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3\,\,\,khi\,\,x \ge 1}\\{\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 7x + 4}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x < 1}\end{array}} \right.\). Giá trị của f′(1) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1\,\,khi\,\,x \ge 0}\\{ - {x^2}\,\,khi\,\,x < 0}\end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hàm số f(x) xác định trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bởi \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}\]. Đạo hàm của f(x) tại \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = }}\sqrt {\rm{2}} \] là

Cho hàm số y = f(x) xác định: \(f\left( x \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{0\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Giá trị của f′(0) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt x }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{0\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Xét hai mệnh đề sau:

(I) Hàm số có đạo hàm tại \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = 0}}\] và f′(0) = 1

(II) Hàm số không có đạo hàm tại \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = 0}}\].

Mệnh đề nào đúng?

Xét hai mệnh đề:

(I) f(x) có đạo hàm tại x₀ thì f(x) liên tục tại x₀

(II) f(x) liên tục tại x0 thì f(x) có đạo hàm tại x₀

Mệnh đề nào đúng?

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sau đây là đúng?

Xét hai hàm số: \[\left( {\rm{I}} \right){\rm{: f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\left| {\rm{x}} \right|{\rm{x,}}\,\,\left( {{\rm{II}}} \right){\rm{: g}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\sqrt {\rm{x}} \] . Hàm số có đạo hàm tại x = 0  là:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt[3]{{4{x^2} + 8}} - \sqrt {8{x^2} + 4} }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Giá trị của f′(0) bằng:

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^3} - 4{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{0\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\). Giá trị của f′(1) bằng:

Cho hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}\left| {{\rm{x + 1}}} \right|}}{{\rm{x}}}\]. Tính đạo hàm của hàm số tại \[{{\rm{x}}_0} = - 1\].

Xét hai câu sau:

(1) Hàm số \[{\rm{y = }}\frac{{\left| {\rm{x}} \right|}}{{{\rm{x + 1}}}}\] liên tục tại x = 0.

(2) Hàm số \[{\rm{y = }}\frac{{\left| {\rm{x}} \right|}}{{{\rm{x + 1}}}}\]có đạo hàm tại x = 0.

Trong 2 câu trên:

Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1}\\{a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại x = 1.

Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 1}}{{x + 1}}\,\,khi\,x \ge 0}\\{ax + b\,\,khi\,x < 0}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại điểm x = 0.

</>

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + bx\,\,khi\,\,x \ge 1}\\{2x - 1\,\,khi\,\,x < 1}\end{array}} \right.\). Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}}}{2}\,\,khi\,\,x \le 1}\\{ax + b\,\,khi\,\,x > 1}\end{array}} \right.\). Tìm tất cả các giá trị của các tham số a, b sao cho f(x) có đạo hàm tại điểm x = 1.

Với hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sin \frac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{0\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Để tìm đạo hàm f′(0) một học sinh lập luận qua các bước sau:

Bước 1: \[\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right|{\rm{ = }}\left| {\rm{x}} \right|\left| {{\rm{sin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{x}}}} \right| \le \left| {\rm{x}} \right|\]

Bước 2: Khi x → 0 thì \[\left| {\rm{x}} \right| \to 0\] nên \[\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right| \to 0 \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) \to 0\]

Bước 3: Do \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = f}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = 0}}\] nên hàm số liên tục tại x = 0.

Bước 4: Từ f(x) liên tục tại \[{\rm{x}} = 0 \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\] có đạo hàm tại x = 0.

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

Cho hàm số \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = x}}\left( {{\rm{x}} - {\rm{1}}} \right)\left( {{\rm{x}} - {\rm{2}}} \right)...\left( {{\rm{x}} - {\rm{1000}}} \right)\]. Tính f′(0) ?

Tìm a, b để hàm số \(f\left( x \right)\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a{x^2} + bx + 1\,\,khi\,\,x \ge 0}\\{a\sin x + b\cos x\,\,khi\,x < 0}\end{array}} \right.\) có đạo hàm tại điểm x₀= 0

Giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to 0} \frac{{\sin {\rm{x}} - \sin 3{\rm{x}}}}{{\rm{x}}}\] bằng :