Quiz

21 câu Dạng 1: Quy nạp toán học có đáp án

Admin12 câu hỏiToánLớp 11

12 CÂU HỎI

Hiển thị đáp án

1. Nhiều lựa chọn

Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự nhiên $n \geq p$ (p là một số tự nhiên). Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n = k. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. k > p

B. $k \geq p$

C. k = p

D. k < p

Xem giải thích câu trả lời

2. Nhiều lựa chọn

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A. Sai từ bước 1

B. Sai từ bước 3

C. Sai từ bước 2

D. Lập luận hoàn toàn đúng

Xem giải thích câu trả lời

3. Nhiều lựa chọn

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A. Sai từ bước 1

B. Sai từ bước 3

C. Sai từ bước 2

D. Lập luận hoàn toàn đúng

Xem giải thích câu trả lời

4. Nhiều lựa chọn

Với mỗi số nguyên dương, kí hiệu $u_{n} = {5.2}^{3 n - 2} + 3^{3 n - 1}$

Một học sinh chứng minh u_n luôn chia hết cho 19 như sau:

Bước 1: Khi n=1 ta có $u_{1} = {5.2}^{1} + 3^{2} = 19 \Rightarrow u_{1} ⋮ 19$

Bước 2: Giả sử $u_{k} = {5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k + 1}$ chia hết cho 19 với $k \geq 1$

Khi đó ta có $u_{k + 1} = {5.2}^{3 k + 1} + 3^{3 k + 2} = 8 ({5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1}) + {19.3}^{3 k - 1}$

Bước 3: Vì ${5.2}^{3 k - 2} + 3^{3 k - 1} và {19.3}^{3 k - 1}$ chia hết cho 19 nên $u_{k + 1}$ chia hết cho 19,

Vậy u_n chia hết cho 19, $\forall n \in ℕ^{*}$

Lập luận trên đúng hay sai? Nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?

A. Sai từ bước 1

B. Sai từ bước 3

C. Sai từ bước 2

D. Lập luận hoàn toàn đúng

Xem giải thích câu trả lời

5. Nhiều lựa chọn

Giả sử A là tập con của tập hợp các số nguyên dương sao cho:

$(I) k \in A; (I I) n \in A \Rightarrow n + 1 \in A, \forall n \geq k$

Lúc đó ta có

A. Mọi số nguyên bé hơn k đều thuộc A.

B. Mọi số nguyên dương đều thuộc A.

C. Mọi số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng k đều thuộc A.

D. Mọi số nguyên đều thuộc A.

Xem giải thích câu trả lời

6. Nhiều lựa chọn

Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi giá trị nguyên $n \geq p$ với p là số nguyên dương ta sẽ tiến hành 2 bước

Bước 1 (bước cơ sở). Chứng minh rằng A(n) đúng khi n=1

Bước 2 (bước quy nạp). Với số nguyên dương tùy ý k, ta giả sử A(n) đúng khi n=k (theo giả thiết quy nạp). Ta sẽ chứng minh rằng A(n) đúng khi n=k+1

Hãy chọn câu trả lời đúng tương ứng với lí luận trên.

A. Chỉ có bước 2 đúng.

B. Cả hai bước đều đúng.

C. Cả hai bước đều sai.

D. Chỉ có bước 1 đúng.

Xem giải thích câu trả lời

7. Nhiều lựa chọn

Với mọi $n \in ℕ^{*},$ khẳng định nào sau đây sai?

A. $1 + 2 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2} .$

B. $1 + 3 + 5 + ... + (2 n - 1) = n^{2} .$

C. $1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{6} .$

D. $2^{2} + 4^{2} + 6^{2} + ... + {(2 n)}^{2} = \frac{2 n (n + 1) (2 n + 1)}{6} .$

Xem giải thích câu trả lời

8. Nhiều lựa chọn

Cho $S_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} với n \in ℕ *$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $S_{n} = \frac{n - 1}{n} .$

B. $S_{n} = \frac{n}{n + 1} .$

C. $S_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} .$

D. $S_{n} = \frac{n + 2}{n + 3} .$

Xem giải thích câu trả lời

9. Nhiều lựa chọn

Cho dãy số (u_n) với $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = u_{n} + {(- 1)}^{2 n} \end{cases} .$ Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. $u_{n} = 1 + n .$

B. $u_{n} = 1 - n .$

C. $u_{n} = 1 + {(- 1)}^{2 n} .$

D. $u_{n} = n .$

Xem giải thích câu trả lời

10. Nhiều lựa chọn

Cho dãy xác định bởi công thức $\{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n}, \forall n \in ℕ^{*} \end{cases} .$ Số hạng tổng quát của dãy u_n là

A. $u_{n} = \frac{3}{2^{n - 1}} .$

B. $u_{n} = \frac{3}{2^{n}} .$

C. $u_{n} = \frac{3}{2^{n} + 1} .$

D. $u_{n} = \frac{3}{2^{n} - 1} .$

Xem giải thích câu trả lời

11. Nhiều lựa chọn

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ được xác định như sau $u_{1} = 3, v_{1} = 2 và \{\begin{cases} u_{n + 1} = u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2} \\ v_{n = 1} = 2 u_{n} . v_{n} \end{cases}$ với $n \geq 2 .$ Công thức tổng quát của hai dãy $(u_{n}) v à (v_{n})$ là

A. $\{\begin{cases} u_{n} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n} \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} u_{n} = \frac{1}{4} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} + {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \\ v_{n} = \frac{1}{2} [{(\sqrt{2} + 1)}^{2 n} - {(\sqrt{2} - 1)}^{2 n}] \end{cases} .$

Xem giải thích câu trả lời

12. Nhiều lựa chọn

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = \cos α (0 < α < π) \\ u_{n + 1} = \sqrt{\frac{1 + u_{n}}{2}}, \forall n \geq 1 \end{cases}$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là