206 câu Bài tập Nguyên hàm, tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P4)

Biết $F\left(x\right)=(a{x}^2+bx+c)e^{-x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=(2x^2-5x+2)e^{-x}$ trên $\mathrm{ℝ}$. Giá trị của biểu thức f(F(0)) bằng:

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=1 và x=4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ($1\le x\le 4$) thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2x.

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$ thỏa mãn F(5)=2 và F(0)=1. Tính F(2)-F(-1).

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=2x+e^x$ là:

Cho đồ thị y=f(x) như hình vẽ sau đây. Biết rằng ${\int }_{-2}^{1}f\left(x\right)dx=a$ và ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=b$. Tính diện tích S của phần hình phẳng được tô đậm.

Biết ${\int }_1^2\frac{x^{3}dx}{\sqrt{x^2+1}-1}=a\sqrt{5}+b\sqrt{2}+c$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P=a+b+c.

Cho ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=2$. Tính giá trị của tích phân L=${\int }_0^3\left[2f\left(x\right)-x^2\right]dx$.

Cho ${\int }_1^{2}f\left(x\right)d\left(x\right)=1$ và ${\int }_2^{3}f\left(x\right)dx=-2$. Giá trị của ${\int }_1^{3}f\left(x\right)dx$ bằng

Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm O. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bốn hoa, nhóm này định bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O (như hình vẽ). Hai đường parabol cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4m. Phần diện tích $S_1, S_2$ dùng để trồng hoa, phần diện tích $S_3, S_4$ dùng để trồng cỏ.

Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1$m^2$, kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/$m^2$. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn)

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên $\left(0;+\infty \right)$ và thỏa mãn f(1)=1, $f\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)\sqrt{3x+1}$, với mọi x>0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho biết hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) và có một nguyên hàm là F(x). Tìm $\int \left[2f\left(x\right)+f\text{'}\left(x\right)+1\right]dx$?

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=$\frac{1}{2x-1}$. Biết F(1)=2. Giá trị của F (2) là

Biết $F\left(x\right)=(a{x}^2+bx+c)e^{-x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=(2x^2-5x+2)e^{-x}$ trên $\mathrm{ℝ}$. Giá trị của biểu thức f(F(0)) bằng

Họ nguyên hàm của hàm số f(x)=2x+1

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{x^2}(x^3-4x)$. Hàm số $F(x^2+x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số f(x)>0 với $x\in \mathrm{ℝ},f\left(0\right)=1$ và $f\left(x\right)=\sqrt{x+1}.f\text{'}\left(x\right)$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số f(x), f(-x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và thỏa mãn 2f(x)+3f(-x)=$\frac{1}{4+x^2}$. Tính $I={\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)dx$.

Cho ${\int }_1^{2}f\left(x\right)dx=2$. Tính ${\int }_1^4\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx$ bằng:

Cho hai tích phân ${\int }_{-2}^{5}f\left(x\right)dx=8$ và ${\int }_5^{-2}g\left(x\right)dx=3$. Tính I=${\int }_{-2}^5\left[f\left(x\right)-4g\left(x\right)-1\right]dx$?

Tích phân ${\int }_0^2\frac{x}{x^2+3}dx$ bằng:

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=5^{2x}$?

Cho hàm số y=f(x) có f'(x) liên tục trên $\left[0;2\right]$và $f\left(2\right)=16;$ ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=4$. Tính $I={\int }_0^{1}xf\text{'}\left(2x\right)dx$ .

Cho hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên $\left[a;b\right]$ và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn $\left[-1;1\right]$ và ${\int }_{-1}^{1}f\left(x\right)dx=4$. Kết quả $I={\int }_{-1}^1\frac{f\left(x\right)}{1+e^x}dx$ bằng:

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=3x^2-1$ là:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2{e}^{x^3+1}$ là:

Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{5x+4}$ là: