20 CÂU HỎI
I. Nhận biết
Thể tích \[V\] của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b{\rm{ }}\left( {a < b} \right)\] khi quay quanh trục \[Ox\] là:
\[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]
\[V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.} \]
\[V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]
\[V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]
Diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b{\rm{ }}\left( {a < b} \right)\] được tính theo công thức
</>
\[S = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]
\[S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.} \]
\[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx.} \]
\[S = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx.} \]
Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = - 3,x = 2\]. Đặt \[a = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} ,{\rm{ }}b = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx.} \]
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[S = a + b.\]
\[S = a - b.\]
\[S = - a - b.\]
\[S = b - a.\]
Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {3^x}\], \[y = 0,x = 0,x = 2.\]Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[S = \int\limits_0^2 {{3^x}dx} .\]
\[S = \pi \int\limits_0^2 {{3^{2x}}dx} .\]
\[S = \pi \int\limits_0^2 {{3^x}dx} .\]
\[S = \int\limits_0^2 {{3^{2x}}dx} .\]
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], \[y = 0,x = - 2,x = 3\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\[S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]
\[S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]
II. Thông hiểu
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1,x = 2\] bằng
\[\frac{1}{3}.\]
\[\frac{2}{3}.\]
\[\frac{3}{2}.\]
\[\frac{7}{3}.\]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} + 1,{\rm{ }}x = - 1,{\rm{ }}x = 2\] và trục hoành.
\[S = 16.\]
\[S = 6.\]
\[S = \frac{{13}}{6}.\]
\[S = 13.\]
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = {x^2} + 1\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = 3\]. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng
\[V = 12\pi .\]
\[V = \frac{{348\pi }}{5}.\]
\[V = 32\pi .\]
\[V = 9\pi .\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = {x^3} - 6x,y = {x^2}\] (phần tô đậm trong hình sau) bằng:
\[S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx.\]
\[S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx.\]
\[S = \int\limits_{ - 2}^9 {\left( {{x^2} - {x^3} + 6x} \right)} dx.\]
\[S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx - \int\limits_0^3 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx.\]
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = \ln x,{\rm{ }}y = 1\] và hai đường thẳng \[x = 1,x = e\] bằng
\[{e^2}.\]
\[e + 2.\]
\[2e.\]
\[e - 2.\]
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = {e^x}\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = 1\]. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng
\[V = \frac{{\pi \left( {{e^2} + 1} \right)}}{2}.\]
\[V = \frac{{{e^2} - 1}}{2}.\]
\[V = \frac{{\pi {e^2}}}{3}.\]
\[V = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}.\]
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = \sqrt {2 + \cos x} \], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = \frac{\pi }{2}.\] Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng:
\[V = \left( {\pi + 1} \right)\pi .\]
\[V = \pi - 1.\]
\[V = \pi + 1.\]
\[V = \left( {1 - \pi } \right)\pi .\]
Cho hình (H) giới hạn bởi các đường \[y = {x^2},x = 1\] và trục hoành. Quay hình (H) quanh trục \[Ox\] ta được khối tròn xoay có thể tích là
\[\frac{\pi }{5}.\]
\[\frac{\pi }{3}.\]\[\]
\[\frac{{2\pi }}{3}.\]
\[\frac{{2\pi }}{5}.\]
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} - 2x\], trục hoành, trục tung và đường thẳng \[x = 1.\] Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục \[Ox.\]
\[V = \frac{{8\pi }}{{15}}.\]
\[V = \frac{{4\pi }}{3}.\]
\[V = \frac{{15\pi }}{8}.\]
\[V = \frac{{7\pi }}{8}.\]
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2}\], \[y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\] và trục hoành như hình vẽ sau:
\[\frac{7}{3}.\]
\[\frac{{56}}{3}.\]
\[\frac{{39}}{2}.\]
\[\frac{{11}}{6}.\]
III. Vận dụng
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc \[v\] (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh \[I\left( {\frac{1}{2};8} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \[s\] người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?
4 km.
5 km.
4,5 km.
5,5 km.
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = 1,x = 3\]. Thể tích V của vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh trục \[Ox\] thỏa:
\[16 < V < 17.\]
\[41 < V < 42.\]
\[13 < V < 14.\]
\[5 < V < 6.\]
Cho hình (H) là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình \[y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}\], \[y = \left\{ \begin{array}{l} - x,{\rm{ }}x \le 1\\x - 2{\rm{, }}x > 1\end{array} \right.\].
Diện tích của hình (H) bằng
\[\frac{{13}}{2}.\]
\[\frac{{11}}{6}.\]
\[\frac{{14}}{3}.\]
\[\frac{{11}}{3}.\]
Chị Minh muốn làm một cái cổng hình parabol như hình vẽ dưới đây. Chiều cao \[GH = 4\] m, chiều rộng \[AB = 4\] m, \[AC = BD = 0,9\] m. Chi Minh làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật \[CDEF\] tô đậm có giá là \[1200000\] đồng/m2, còn các phần để trắng để trang trí hoa có giá là \[900000\] đồng/m2. Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
\[11445000\] đồng.
\[4077000\] đồng.
\[7368000\] đồng.
\[11370000\] đồng.
Một li rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường parabol.
Thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được là (làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân).
\[V \approx 320\] cm3.
\[V \approx 1005,31\] cm3.
\[V \approx 251,33\] cm3.
\[V \approx 502,65\] cm3.