Xét Trái Đất trong không gian Oxyz, với O là tâm Trái Đất, tia Ox chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo
17/22
Xét Trái Đất trong không gian Oxyz, với O là tâm Trái Đất, tia Ox chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia Oz chứa điểm cực Bắc (N), tia Oy giao với xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, đơn vị trên mỗi trục tương ứng với bán kính Trái Đất là 6371 km. Ta nói một điểm P thuộc bán cầu Bắc có vĩ độ là \(\alpha ^\circ \)Bắc (ghi là \(\alpha ^\circ N\)) khi góc giữa đường thẳng OP và mặt phẳng chứa xích đạo bằng \(\alpha ^\circ \) (hình vẽ minh họa).
Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) cho phép xác định tọa độ một điểm bất kỳ trên mặt đất. GPS hoạt động bằng cách truyền tín hiệu từ mạng lưới vệ tinh quay quanh Trái Đất đến thiết bị thu GPS trên mặt đất. Trong cùng một thời điểm, thiết bị thu GPS cần xác định khoảng cách từ nó đến ít nhất ba vệ tinh để tính được tọa độ của nó.
Giả sử tại một thời điểm, một thiết bị thu GPS đặt tại M thuộc bán cầu Bắc trên mặt đất, thiết bị thu GPS này đo được khoảng cách đến các vệ tinh đang ở vị trí \[A\left( {3;1;2} \right),{\rm{ }}B\left( {3;2;1} \right),{\rm{ }}C\left( {3;6;4} \right)\] lần lượt là \(MA = \frac{{\sqrt {265} }}{5},MB = \sqrt {11} ,MC = \frac{{11\sqrt {10} }}{5}.\) Em hãy cho biết vĩ độ tại M là bao nhiêu độ Bắc (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
Gọi tọa độ của điểm M là \(\left( {x;y;z} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MA = \frac{{\sqrt {265} }}{5}\\MB = \sqrt {11} \\MC = \frac{{11\sqrt {10} }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \frac{{53}}{5}\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 11\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = \frac{{242}}{5}\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y - 4z + \frac{{17}}{5} = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z + 3 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 12y - 8z + \frac{{63}}{5} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = \frac{3}{5}\\z = \frac{4}{5}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6;\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right).\)
Mặt phẳng chứa đường xích đạo là \(\left( {Oxy} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Đường thẳng OM có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {OM} = \left( {6;\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {OM,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| {0 \cdot 6 + 0 \cdot \frac{3}{5} + 1 \cdot \frac{4}{5}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} }} \Rightarrow \left( {OM,\left( {Oxy} \right)} \right) \approx 7,6^\circ \).
Đáp án: 7,6.