Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau: a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0; b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0; c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x;  d) y = 3sin ( 2x + pi /6) + sin ( 2x - pi /3)

Lời giải

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = A sin(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có

\(x + \frac{{2\pi }}{\omega } \in D,\,\,x - \frac{{2\pi }}{\omega } \in D\) và

\(f\left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) = A\sin \left( {\omega \left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) + \varphi } \right)\)= A sin(ωx + 2π + φ) = A sin(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là \(\frac{{2\pi }}{\omega }\).

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số f(x) = A tan(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có:

\(x + \frac{\pi }{\omega } \in D,\,\,x - \frac{\pi }{\omega } \in D\) và

\(f\left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) = A\tan \left( {\omega \left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) + \varphi } \right)\)= A tan(ωx + π + φ) = A tan(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là \(\frac{\pi }{\omega }\).

c) Ta có 3sin 2x + 3cos 2x = 3(sin 2x + cos 2x) = \(3\sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

Theo câu a, ta suy ra hàm số y = 3sin 2x + 3cos 2x là hàm số tuần hoàn chu kì \(\frac{{2\pi }}{2} = \pi \).

d) Ta có \(y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( = 3.2\sin \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\cos \frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\)

\( = 3\sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)\).

Vậy theo câu a, hàm số \(y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là hàm số tuần hoàn chu kì \(\frac{{2\pi }}{2} = \pi \).