Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số ( u n ) với u n = 1 + 1/ 2 ^2 + 1 /3 ^2 + … + 1/ n ^2 .

Ta có: \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}};{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}\).

Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Do \({u_n} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \ldots + \frac{1}{{(n - 1)n}} = 2 - \frac{1}{n}\), suy ra \(1 < {u_n} < 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.