Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − x n e \' a u x < 0 0 n e \' a u x = 0 x 2 n e \' a u x > 0 tại điểm x 0 = 0 .

Hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), do đó \({x_0} = 0\) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = {0^2} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ( - x) = 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\).

Lại có \(f(0) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\). Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 0\).