Bài tập Áp dụng công thức lượng giác vào các bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (có lời giải)
Xem toàn bộ quiz

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

17/25

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a

\({S_n} = {\sin ^3}\frac{a}{3} + 3{\sin ^3}\frac{a}{{{3^2}}} + ... + {3^{n - 1}}{\sin ^3}\frac{a}{{{3^n}}}\)\( = \frac{1}{4}\left( {{3^n}\sin \frac{a}{{{3^n}}} - \sin a} \right)\).

ĐúngSai
b

\(S = \frac{1}{{\sin \alpha }} + \frac{1}{{\sin 2\alpha }} + ... + \frac{1}{{\sin {2^{n - 1}}\alpha }}\)= \(\cot \frac{\alpha }{2} - \cot {2^{n - 1}}\alpha \).

ĐúngSai
c

\({S_n} = {\tan ^2}\frac{a}{2} \cdot \tan a + 2{\tan ^2}\frac{a}{{{2^2}}} \cdot \tan \frac{a}{2} + ... + {2^{n - 1}}{\tan ^2}\frac{a}{{{2^n}}} \cdot \tan \frac{a}{{{2^{n - 1}}}} = \tan a - {2^n}\tan \frac{a}{{{2^n}}}\) .

ĐúngSai
d

\({P_n} = \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{{{2^2}}} \cdot ... \cdot c{\rm{os}}\frac{x}{{{2^n}}}\)\( = \frac{{\sin x}}{{{2^n} \cdot \sin \frac{x}{{{2^n}}}}}\) .

ĐúngSai
Giải thích

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. \({S_n} = {\sin ^3}\frac{a}{3} + 3{\sin ^3}\frac{a}{{{3^2}}} + ... + {3^{n - 1}}{\sin ^3}\frac{a}{{{3^n}}}\)

\( = \frac{1}{4}\left( {3\sin \frac{a}{3} - \sin a} \right) + \frac{1}{4}\left( {{3^2}\sin \frac{a}{{{3^2}}} - 3\sin \frac{a}{3}} \right) + ... + \frac{1}{4}\left( {{3^n}\sin \frac{a}{{{3^n}}} - {3^{n - 1}}\sin \frac{a}{{{3^{n - 1}}}}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}\left( {{3^n}\sin \frac{a}{{{3^n}}} - \sin a} \right)\).

b) Đúng. \(S = \frac{1}{{\sin \alpha }} + \frac{1}{{\sin 2\alpha }} + ... + \frac{1}{{\sin {2^{n - 1}}\alpha }}\)

\( = \cot \frac{\alpha }{2} - \cot \alpha + \cot \alpha - \cot 2\alpha + ... + \cot {2^{n - 2}}\alpha - \cot {2^{n - 1}}\alpha = \cot \frac{\alpha }{2} - \cot {2^{n - 1}}\alpha \).

c) Đúng. \({S_n} = {\tan ^2}\frac{a}{2} \cdot \tan a + 2{\tan ^2}\frac{a}{{{2^2}}} \cdot \tan \frac{a}{2} + ... + {2^{n - 1}}{\tan ^2}\frac{a}{{{2^n}}} \cdot \tan \frac{a}{{{2^{n - 1}}}}\)

\[ = \tan a - 2\tan \frac{a}{2} + 2 \cdot \left( {\tan \frac{a}{2} - 2\tan \frac{a}{{{2^2}}}} \right) + ... + {2^{n - 1}}\tan \frac{a}{{{2^{n - 1}}}} - {2^n}\tan \frac{a}{{{2^n}}}\]

\({S_n} = \tan a - {2^n}\tan \frac{a}{{{2^n}}}\).

d) Đúng. \({P_n} = \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{{{2^2}}} \cdot ... \cdot c{\rm{os}}\frac{x}{{{2^n}}}\)

\({P_n} \cdot \sin \frac{x}{{{2^n}}} = \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{{{2^2}}}...\cos \frac{x}{{{2^{n - 1}}}} \cdot \left( {\cos \frac{x}{{{2^n}}} \cdot \sin \frac{x}{{{2^n}}}} \right)\)

\({P_n} \cdot \sin \frac{x}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} \cdot \cos \frac{x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2} = \frac{1}{{{2^n}}} \cdot {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\)

\({P_n} = \frac{{\sin x}}{{{2^n} \cdot \sin \frac{x}{{{2^n}}}}}\).