Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên ( − 2 ; + ∞ ) bằng -3.
14/21
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\)trên \[\left( { - 2;\; + \infty } \right)\] bằng -3.
b) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng -1.
c) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) trên \[\left[ {2;3} \right]\] bằng 3.
d) Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung tích \(16\pi c{m^3}\). Để ít tốn nguyên liệu sản xuất nhất thì bán kính đáy\(R\)của lọ bằng \(2cm\).
a) Đúng.
Dựa vào BBT suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \[\left( { - 2;\; + \infty } \right)\] bằng -3.
b) Sai.
Ta có \(y' = 3{x^2} - 4x - 7\), \(y' = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 \in \left( { - 2;1} \right)\\x = \frac{7}{3} \notin \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right.\)
\(y\left( { - 2} \right) = - 1,\)\(y\left( 1 \right) = - 7,\)\(y\left( { - 1} \right) = 5\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 5\).
c) Sai.
Có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \ge 0,\,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\) nên hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) đồng biến trên \[\left[ {2;3} \right]\].
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\) trên \[\left[ {2;3} \right]\]bằng \[y\left( 3 \right) = \frac{7}{2}\].
d) Đúng.
Ta có \(V = \pi {R^2}h = 16\pi \Rightarrow h = \frac{{16}}{{{R^2}}}\).
Để ít tốn nguyên liệu nhất thì diện tích toàn phần của lọ phải nhỏ nhất.
Ta có \({S_{{\rm{tp}}}} = 2\pi {R^2} + 2\pi Rh = 2\pi {R^2} + \frac{{32\pi }}{R} = 2\pi {R^2} + \frac{{16\pi }}{R} + \frac{{16\pi }}{R} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {R^2}.\frac{{16\pi }}{R}.\frac{{16\pi }}{R}}} = 24\pi \).
Dấu “\( = \)” xảy ra \[ \Leftrightarrow 2\pi {R^2} = \frac{{16\pi }}{R} \Leftrightarrow R = 2(cm)\].