Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) y = x + 1/ x; b) \y = x / (x ^ 2 + 1)

a) \(y = x + \frac{1}{x}\)

Tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: y' = 1 – \(\frac{1}{{{x^2}}}\) = \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\) = 0 ⇔ x = ±1.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (0; 1).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và yCĐ = y(−1) = −2.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 2.

b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}.\)

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

 y' = 0 ⇔  \(\frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\) = 0 ⇔ 1 – x2 = 0 ⇔ x = ±1.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞).

Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yCĐ = y(1) = \(\frac{1}{2}\).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 và yCT = y(−1) = \( - \frac{1}{2}\).