Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (Hình vẽ). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính
30/32
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (Hình vẽ). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\]
a) Viết công thức tính q = g(p) như một hàm số của biến \[p \in (f; + \infty )\]
b) Tính các giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g(p);\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g(p)\]và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
c) Lập bảng biến thiên của hàm số q = g(p) trên khoảng \[(f; + \infty )\]
a) Ta có: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f} \Rightarrow q = \frac{{pf}}{{p - f}}\). Do đó, \(q = g(p) = \frac{{pf}}{{p - f}}\) với \(p \in (f; + \infty )\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g(p) = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \frac{{pf}}{{p - f}} = \mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } \frac{f}{{1 - \frac{f}{p}}} = f,\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g(p) = \mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} \frac{{pf}}{{p - f}} = + \infty \)
Ý nghĩa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g(p) = f\) : Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến ra vô cùng thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính xấp xỉ tiêu cự.
Ý nghīa của \(\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g(p) = + \infty \) : Khoảng cách từ vật đến thấu kính tiến gần về tiều cự \({\rm{f}}\) thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính là càng lớn.
c) Ta có: \({q^\prime } = {g^\prime }(p) = \frac{{ - {f^2}}}{{{{(p - f)}^2}}} < 0\forall p \in (f; + \infty )\) nên hàm số nghịch biến trên \((f; + \infty )\).
Bảng biến thiên:
