Xét một bảng ô vuông kích thước 3x3

Đáp án: 310

Công thức: \(P(B|A) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(A)}}\)

 Biến cố \(A\): Tổng các số trên mỗi hàng bằng 0.

 Biến cố \(B\): Tổng các số trên mỗi cột bằng 0.

 Chúng ta cần tính số trường hợp của \(A\) và số trường hợp của \(A \cap B\) (tức là cả hàng và cột đều bằng 0).

Bước 1: Tính số cách điền để tổng mỗi hàng bằng 0 (\(n(A)\))

Xét một hàng gồm 3 ô \((x,y,z)\) có giá trị thuộc \(\{ - 1;0;1\} \) sao cho \(x + y + z = 0\). Các bộ số thỏa mãn là:

1. Bộ \(\{ 0;0;0\} \): Có 1 hoán vị \((0,0,0)\).

2. Bộ \(\{ 1; - 1;0\} \): Có \(3! = 6\) hoán vị (ví dụ: \((1, - 1,0),(0,1, - 1),...\)).

\( \Rightarrow \) Có tổng cộng \(1 + 6 = 7\) cách để điền một hàng sao cho tổng bằng 0.

Vì bảng có 3 hàng độc lập, tổng số cách điền thỏa mãn điều kiện \(A\) là: \(n(A) = 7.7.7 = 343\)

Bước 2: Tính số cách điền để CẢ hàng và cột đều bằng 0 (\(n(A \cap B)\))

Gọi hàng gồm toàn số 0 là hàng “0” và hàng chứa \(\{ 1; - 1;0\} \) là hàng “khác”.

Để tổng mỗi cột bằng 0. Chúng ta xét các trường hợp của 3 hàng:

 Trường hợp 1: Cả 3 hàng đều là hàng “0”

0	0	0
0	0	0
0	0	0

o Bảng chỉ toàn số 0. Hiển nhiên tổng cột cũng bằng 0.

o Số cách: 1 cách.

 Trường hợp 2: Có 1 hàng “0” và 2 hàng “khác”

o Gọi hàng “0” là \({H_z}\), hai hàng “khác” là \({H_1},{H_2}\).

o Để tổng mỗi cột bằng 0 thì trên mỗi cột: \({H_z} + {H_1} + {H_2} = 0 \Rightarrow {H_1} + {H_2} = 0 \Rightarrow {H_2} = - {H_1}\).

o Chọn vị trí cho hàng “0”: có 3 cách (hàng 1, 2 hoặc 3).

o Chọn giá trị cho hàng \({H_1}\): có 6 cách (các hoán vị của \(1, - 1,0\)), (vì \({H_2}\) và\({H_1}\) đối nhau nên \({H_1}\) không có chọn vị trí hàng trong 2 hàng còn lại )

o Hàng \({H_2}\) bắt buộc phải là số đối của \({H_1}\) (ví dụ \({H_1}\) là \((1, - 1,0)\) thì \({H_2}\) phải là \(( - 1,1,0)\)), nên chỉ có 1 cách duy nhất.

o Số cách: \(3.6.1 = {\bf{18}}\) cách.

 Trường hợp 3: Cả 3 hàng đều là hàng “khác”

o Mỗi hàng đều có tập \(\{ 1, - 1,0\} \). Tổng cả bảng có ba số 1, ba số -1, ba số 0.

o Để tổng cột bằng 0, mỗi cột cũng phải có tập giá trị là \(\{ 1, - 1,0\} \) (không thể có cột \(\{ 0,0,0\} \) vì nếu thế 2 cột còn lại sẽ không thể có tổng bằng 0 với các số còn lại).

o Điều này nghĩa là mỗi hàng có đúng một số 0, và mỗi cột cũng có đúng một số 0.

 Bước 3.1: Xếp 3 số 0 vào bảng sao cho mỗi hàng 1 số, mỗi cột 1 số. Có \(3! = 6\) cách.

Giải thích: Hàng 1: đặt số 0 có 3 cách, hàng 2: đặt số 0 có 2 cách; hàng 3: đặt số 0 có 1 cách. Suy ra có Có \(3! = 6\) cách.

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{0}}&x&x\\x&{\bf{0}}&x\\x&x&{\bf{0}}\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{0}}&x&x\\x&x&{\bf{0}}\\x&{\bf{0}}&x\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{\bf{0}}&x\\{\bf{0}}&x&x\\x&x&{\bf{0}}\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{\bf{0}}&x\\x&x&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&x&x\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&x&{\bf{0}}\\{\bf{0}}&x&x\\x&{\bf{0}}&x\end{array}} \right]\)\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}x&x&{\bf{0}}\\x&{\bf{0}}&x\\{\bf{0}}&x&x\end{array}} \right]\)

 Bước 3.2: Sau khi xếp số 0, các ô còn lại trong mỗi hàng là \(1\) và \( - 1\). Với một vị trí các số 0 cố định, chỉ có đúng 2 cách điền các số \(1, - 1\) hợp lệ (bạn chọn 1 ô là 1 thì các ô khác sẽ bị ràng buộc theo dây chuyền).

o Số cách: \(6.2 = {\bf{12}}\) cách.

Tổng số trường hợp thỏa mãn mỗi hàng và cột bằng 0 là: \(n(A \cap B) = 1 + 18 + 12 = 31\)

Tính xác suất \(p = \frac{{31}}{{343}}\)

\(3430p = 3430.\frac{{31}}{{343}} = 10.31 = 310\).