Xét hàm số f(x) = 2x. a) Xét dãy số (xn), với xn = 1 + 1/n. Hoàn thành bảng giá trị f(xn) tướng ứng. Các giá trị tương ứng của hàm số f(x1), f(x2), ..., f(xn), ... lập thành một dãy số m
2/19
Xét hàm số f(x) = 2x.
a) Xét dãy số (xn), với xn = \(1 + \frac{1}{n}\). Hoàn thành bảng giá trị f(xn) tướng ứng.
Các giá trị tương ứng của hàm số f(x1), f(x2), ..., f(xn), ... lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(xn)). Tìm limf(xn).
b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì (xn), xn → 1 ta luôn có f(xn) → 2.
Lời giải
a) Ta có bảng giá trị sau:
x | x1 = 2 | \({x_2} = \frac{3}{2}\) | \({x_3} = \frac{4}{3}\) | \({x_4} = \frac{5}{4}\) | ... | \({x_n} = \frac{{n + 1}}{n}\) | ... |
f(x) | f(x1) = 4 | f(x2) = 3 | \(f\left( {{x_3}} \right) = \frac{8}{3}\) | \(f\left( {{x_4}} \right) = \frac{5}{2}\) | ... | \(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{n}\) | ... |
Ta có: \[{\rm{limf}}({x_n}) = \lim \frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{n} = 2\].
b) Lấy dãy (xn) bất kí thỏa mãn xn → 1 ta có:
f(xn) = 2xn
⇒ \[\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2\].