Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R)

Đáp án B.

Đặt a=BC,b=CA,c=AB.

Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao h1=R2−14b2 và bán kính đáy r1=12b nên ta có V1=13πr12h1=124πb24R2−b2.

Tương tự, ta có

V2=124πc24R2−c2;V3=124πa24R2−a2.

Bằng việc khảo sát hàm số ft=t24R2−t trên khoảng 0;4R2 hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si

12b2.12b2.4R2−b2≤12b2+12b2+4R2−b233=6427R6.

 

Ta được V1≤2π39R3;V2≤2π39R3. Suy ra V1+V2≤4π39R3.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b=c=263R.

Vậy V1+V2 đạt giá trị lớn nhất bằng 4π39R3 khi b=c=263R.

Khi đó tam giác ABC cân tại A và có AB=AC=263R.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì 2R.AH=AB2. Từ đó suy ra AH=AB22R=43R. Do đó OH=AH−R=13R và a=2R2−OH2=423R.

Suy ra V3=8π81R3.