Xét các số thực dương \[a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\] thoả mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} .\) Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + 2y\) gần bằng với số nguyên nào nhấ

Ta có \({a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {{\log }_a}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_a}b}\\{y = {{\log }_b}\sqrt {ab} = \frac{1}{2}{{\log }_b}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\log }_b}a}\end{array}} \right.\)

Đặt \(X = {\log _a}b > 0\), khi đó \(P = x + 2y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}X + 2 \cdot \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{X}} \right)\)

\( = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}X + 1 + \frac{1}{X} = \left( {\frac{X}{2} + \frac{1}{X}} \right) + \frac{3}{2} \ge 2\sqrt {\frac{X}{2} \cdot \frac{1}{X}} + \frac{3}{2} = \sqrt 2 + \frac{3}{2}{\rm{. }}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\sqrt 2 + \frac{3}{2} \approx 3.\)

Đáp án: 3.