Xét các số phức z thỏa mãn z(z-2+i)+4i-1 là số thực. Biết rằng tập hợp các điểm

Giả sử \(z = a + bi\,\,\left( {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right).\)

Khi đó \(z\left( {\bar z - 2 + i} \right) + 4i - 1 = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi - 2 + i} \right) + 4i - 1\)

\( = \left( {a + bi} \right) \cdot \left[ {\left( {a - 2} \right) + \left( {1 - b} \right)i} \right] + 4i - 1\)

\( = a\left( {a - 2} \right) - b\left( {1 - b} \right) + \left[ {a\left( {1 - b} \right) + b\left( {a - 2} \right)} \right]i + 4i - 1\)

\( = a\left( {a - 2} \right) - b(1 - b) - 1 + \left( {a - 2b + 4} \right)i{\rm{. }}\)

Ta có \(z\left( {\bar z - 2 + i} \right) + 4i - 1\) là số thực nên \(a - 2b + 4 = 0.\)

Số phức \(z\) có điểm biểu diễn \(M\left( {a\,;\,\,b} \right)\) nên \(M \in d:x - 2y + 4 = 0.\)

Đường thẳng \(d\) cắt trục \[Ox,\,\,Oy\] lần lượt tại \(A\left( { - \,4\,;\,\,0} \right)\) và \[B\left( {0\,;\,\,2} \right)\] nên \[{S_{OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = 4.\]

Vậy diện tích tam giác giới hạn bởi đường thẳng \(d\) và hai trục tọa độ bằng 4.

Đáp án: 4.