Xét các số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và w=z/4+z+z^2

43/50

Xét các số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và \[w = \frac{z}{{4 + z + {z^2}}}\] là số thực. Tìm giá trị lớn nhất \[{P_{\max }}\] của biểu thức \[P = \left| {z + 3 - 4i} \right|\]

\[{P_{\max }} = 9.\]

\[{P_{\max }} = 7.\]

\[{P_{\max }} = 5.\]

\[{P_{\max }} = 6.\]

Giải thích

Đáp án B

Do \(w = \frac{z}{{4 + z + {z^2}}}\) là số thực nên \(\frac{{4 + z + {z^2}}}{z} = \frac{4}{z} + 1 + z\) là một số thực

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R},b \ne 0} \right)\) ta có: \(\frac{4}{{a + bi}} + a + bi = \frac{{4\left( {a - bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} + a + bi\) là số thực

Suy ra phần ảo

Do đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) bán kính \(R = 2.\)

Vậy \({P_{\max }} = R + OE\) với \(E\left( { - 3;4} \right) \Rightarrow {P_{\max }} = 2 + 5 = 7.\)