Xét các cấp số cộng an có số hạng đầu tiên a1

20/22

Xét các cấp số cộng \(\left( {{a_n}} \right)\) có số hạng đầu tiên \({a_1}\) và công sai \(d\) đều là các số nguyên dương và thỏa mãn \({2^{{a_8}}} = {2^{27}}{a_8}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a_3}\).

Giải thích

Đáp án: 12.

\({2^{{a_8}}} = {2^{27}}{a_8} \Leftrightarrow \frac{{{2^{{a_8}}}}}{{{a_8}}} = {2^{27}}\)\( \Rightarrow \) nên phương trình có ngiệm duy nhất \({a_8} = 32\).

\( \Rightarrow {a_8} = {a_1} + 7d = 32 \Rightarrow {a_1} = 32 - 7d\).

\( \Rightarrow {a_3} = {a_1} + 2d = 32 - 5d\).

Vì \({a_1},d\) là số nguyên dương \( \Leftrightarrow {a_1} \ge 1 \Leftrightarrow 32 - 7d \ge 1 \Leftrightarrow d \le 4,4 \Rightarrow d = \left\{ {1,2,3,4} \right\}\)

\[d = 1 \Rightarrow {a_3} = 27\], \[d = 2 \Rightarrow {a_3} = 22\], \[d = 3 \Rightarrow {a_3} = 17\], \[d = 4 \Rightarrow {a_3} = 12\].