Xác suất để hai em viết ra hai số chính phương giống nhau và đều là số chia hết cho cả 3 và 5 bằng m/n với m, n thuộc N và m/n tối giản ). Tính 2m + n

34/35

Năm 2025 là một năm đặc biệt đối với người yêu toán học, vì \(2025\) là một số chính phương (tạm gọi là “năm chính phương”), và đây cũng là năm chính phương duy nhất của thế kỷ 21; muốn có được năm chính phương tiếp theo, ta phải chờ thêm 91 năm nữa, tức là năm 2116. Để chào đón năm chính phương đặc biệt này, một thầy giáo dạy toán đã gọi hai em học sinh lên bảng và cho mỗi em viết ngẫu nhiên một số chính phương mà em biết từ 1 đến 2025. Xác suất để hai em viết ra hai số chính phương giống nhau và đều là số chia hết cho cả 3 và 5 bằng \(\frac{m}{n}\) với \(m\,,\,\,n \in \mathbb{N}\) và \(\frac{m}{n}\) tối giản (biết cả hai em học sinh đều viết đúng số chính phương của mình và khả năng xuất hiện mỗi số chính phương là như nhau). Tính \(2m + n\).

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Lời giải

Các năm chính phương cho đến 2025 là: \({1^2}\,;\,\,{2^2}\,;\,\,{3^2}\,;\,\,...\,;\,\,{45^2}\), có 45 số như thế.

Mỗi em học sinh có 45 lựa chọn để viết một số chính phương nên \(n\left( \Omega \right) = {45^2}\).

Các số chính phương chia hết cho cả 3 và 5 là \({15^2} = 225\,;\,\,{30^2} = 900\,;\,\,{45^2} = 2025\).

Số cách để cả hai em viết ra cùng một số chính phương chia hết cho 3 và 5 là \(n\left( A \right) = 3 \cdot 1 = 3\).

Xác suất cần tính là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{{{{45}^2}}} = \frac{1}{{675}} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2m + n = 677\).

Đáp án: 677.