Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

24/59

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI ⊥AB, MK⊥AC (I ∈AB,K∈AC)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: MIP^=MBP^(4). Từ (3) và (4) suy ra MPK^=MIP^.

Tương tự ta chứng minh được MKP^=MPI^.

Suy ra: MPK ~∆MIP⇒MPMK=MIMP

⇒MI.MK = MP2 ⇒ MI.MK.MP = MP3.

Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4)

- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).

Lại có: MP + OH ⩽ OM = R ⇒ MP ⩽ R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5).

Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3⇔ M nằm chính giữa cung nhỏ BC