Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ A P để tổng S = M P + M A có giá trị lớn nhất.

12/13

c) Gọi \(C\) là điểm nằm trên dây \(MB\) sao cho \(MA = MC\). Xác định vị trí của điểm \(M\) trên cung nhỏ \(AP\) để tổng \(S = MP + MA\) có giá trị lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

⦁ Vì \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) có đường cao \(OD\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(D\) là trung điểm của \(AB.\)

Xét \(\Delta APB\) có \(PD\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác nên \(\Delta APB\) cân tại \(P.\) Mà \(\widehat {APB} = 60^\circ \) nên \(\Delta APB\) là tam giác đều.

Suy ra \(AP = AB\) và \(\widehat {ABP} = 60^\circ .\)

Tứ giác \(ABPM\) nội tiếp nên \(\widehat {AMP} + \widehat {ABP} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)

Suy ra \[\widehat {AMP} = 180^\circ - \widehat {ABP} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\]

Xét \(\Delta AMP\) có: \(\widehat {AMP} + \widehat {APM} + \widehat {MAP} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \[\widehat {MAP} = 180^\circ - \widehat {AMP} - \widehat {APM} = 180^\circ - 120^\circ - \widehat {APM} = 60^\circ - \widehat {APM}.\] (1)

⦁ Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AMB} = \widehat {APB} = 60^\circ \) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB).\)

Xét \(\Delta AMC\) có \(MA = MC\) và \(\widehat {AMC} = 60^\circ \) nên \(\Delta AMC\) là tam giác đều.

Suy ra \(AM = AC\) và \(\widehat {ACM} = 60^\circ .\)

Mà \(\widehat {ACB} + \widehat {ACM} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {ACM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ .\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {ACB} + \widehat {CAB} + \widehat {ABC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {CAB} = 180^\circ - \widehat {ACB} - \widehat {ABC} = 180^\circ - 120^\circ - \widehat {ABC} = 60^\circ - \widehat {ABC}.\) (2)

⦁ Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {APM} = \widehat {ABM}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM).\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {MAP} = \widehat {CAB}.\)

⦁ Xét \(\Delta AMP\) và \(\Delta ACB\) có: \(AM = AC,\) \(\widehat {MAP} = \widehat {CAB}\) và \(AP = AB\)

Do đó \(\Delta AMP = \Delta ACB\) (c.g.c). Suy ra \(MP = CB\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(MA = MC\) nên \(S = MP + MA = CB + MC = MB.\)

Do \(MB\) là dây cung nên \(MB\) có giá trị lớn nhất khi \(MB\) là đường kính của \(\left( {O;R} \right).\)

Vậy \(M\) trên cung nhỏ \(AP\) sao cho \(MB\) là đường kính của \(\left( {O;R} \right)\) thì tổng \(S = MP + MA\) có giá trị lớn nhất.