Xác định vị trí của các điểm H, K để độ dài HK ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó

Do ∆ABH = ∆DBK (câu a) nên BH = BK (hai cạnh tương ứng).

Tam giác BHK có BH = BK và \(\widehat {HBK} = 60^\circ \) nên tam giác BHK là tam giác đều.

Suy ra HK = BH = BK.

Do đó, độ dài HK ngắn nhất khi BH và BK ngắn nhất.

Khi đó H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AD, CD.

Xét ∆ABH vuông tại H và ∆DBH vuông tại H có:

AB = BD, cạnh BH chung

Do đó ∆ABH = ∆DBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra \(AH = DH = \frac{{AD}}{2} = \frac{2}{2} = 1{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABH vuông tại H, ta có:

AB² = AH² + BH²

Suy ra BH² = AB² – AH² = 2² – 1² = 4 – 1 = 3.

Do đó \(BH = \sqrt 3 {\rm{\;cm}}\).

Vậy độ dài ngắn nhất của HK là \(\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\).