xác định vị trí của A trên đường tròn ( O ) để D H ⋅ D A lớn nhất.

Xét \[\Delta DHB\] và \(\Delta DCA\) có: \(\widehat {BDH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) và \(\widehat {HBD} = \widehat {DAC}\) (vì cùng phụ \(\widehat {ACB})\)

Do đó  (g.g). Suy ra \(\frac{{DH}}{{DC}} = \frac{{DB}}{{DA}}\) nên \[DH \cdot DA = DB \cdot DC.\]

Áp dụng bất đẳng thức \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4},\) ta có: \(DB \cdot DC \le \frac{{{{\left( {DB + DC} \right)}^2}}}{4} = \frac{{B{C^2}}}{4}\)

Suy ra \(DH \cdot DA \le \frac{{B{C^2}}}{4},\) mà \(\frac{{B{C^2}}}{4}\) có giá trị không đổi vì \[BC\] cố định.

Dấu “=” xảy ra khi \(DB = DC\) mà \[AH\] vuông góc với \[BC\] tại \[D,\] suy ra \[A\] là giao điểm của đường trung trực của \[BC\] với đường tròn tâm \[O.\]

Vậy \[A\] là giao điểm của đường trung trực của \[BC\] với đường tròn tâm \[O\] thì \[DH \cdot DA\] đạt giá trị lớn nhất.

* Chứng minh bất đẳng thức \(ab \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4}\) với \(a > 0,\,\,b > 0.\)

Thật vậy, với \(a > 0,\,\,b > 0,\) ta có:

\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)

\({a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\)

\({a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\)

\({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\)

\(\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \ge ab.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Bất đẳng thức được chứng minh.