Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau

14/21

Cho hàm số \(y = \left| {{x^4} - 2{x^2} + 3m} \right|\) với \(m\) là tham số. Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau

a) [1] Khi \(m = 1\) giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng 2.

b) [2] Khi \(m = 1\) giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng 4.

c) [2] Để giá trị lớn nhất trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng 9 thì có hai giá trị của tham số \[m\].

d) [3] Biết rằng có đúng hai giá trị \({m_1},{m_2}\) của \(m\) để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng 2024. Khi đó \(3\left| {{m_1} - {m_2}} \right| = 4057\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

+ Đặt \(f(x) = {x^4} - 2{x^2} + 3m\), ta có \(f'(x) = 4{x^3} - 4x;\,f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

+ Khi \(m = 1\)ta có \(f(0) = 3;f(1) = 2;f(2) = 11\) do đó \(y(0) = 3;y(1) = 2;y(2) = 11\). Vậy a) đúng, b) Sai

+ Ta có \(f(0) = 3m;f(1) = f( - 1) = 3m - 1\) do đó \(y(0) = \left| {3m} \right|;y(1) = y( - 1) = \left| {3m - 1} \right|\)

+ Để giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng 9 ta có 2 trường hợp

+/ TH1:\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3m} \right| > \left| {3m - 1} \right|\\\left| {3m} \right| = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3m} \right| > \left| {3m - 1} \right|\\m = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| 9 \right| > \left| 8 \right|\\m = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 9} \right| > \left| { - 10} \right|\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 3\)

+/ TH 2:\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {3m - 1} \right| > \left| {3m} \right|\\\left| {3m - 1} \right| = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {3m - 1} \right| > \left| {3m} \right|\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{{10}}{3}\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| 9 \right| > \left| {10} \right|\\m = \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| { - 9} \right| > \left| { - 8} \right|\\m = - \frac{8}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{8}{3}\)

- Vậy có hai giá trị của tham số \[m\]nên c) đúng

+/ Ta có \(f(0) = 3m;f(1) = 3m - 1;\,f(2) = 8 + 3m\) do đó \(y(0) = \left| {3m} \right|;y(1) = \left| {3m - 1} \right|;y(2) = \left| {8 + 3m} \right|\)

+ Đặt \(A = \left\{ {\left| {3m} \right|;\left| {3m - 1} \right|;\left| {8 + 3m} \right|} \right\}\)thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) nhận một trong các giá trị của \[A\]. Có 3 trường hợp

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \(\left| {3m} \right|\) ta có \(\left| {3m} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2024}}{3}\\m = - \frac{{2024}}{3}\end{array} \right.\)

- Với \(m = \frac{{2024}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2024;2023;2031} \right\}\)(Loại)

- Với \(m = - \frac{{2024}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2024;2025;2016} \right\}\)(Loại)

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \(\left| {3m - 1} \right|\) ta có \(\left| {3m - 1} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2025}}{3}\\m = - \frac{{2023}}{3}\end{array} \right.\)

- Với \(m = \frac{{2025}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2025;2024;2033} \right\}\)(Chọn)

- Với \(m = - \frac{{2023}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2023;2024;2017} \right\}\)(Loại)

+ Giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) bằng \(\left| {8 + 3m} \right|\) ta có \(\left| {8 + 3m} \right| = 2024 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{2016}}{3}\\m = - \frac{{2032}}{3}\end{array} \right.\)

- Với \(m = \frac{{2016}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2016;2015;2024} \right\}\)(Loại)

- Với \(m = - \frac{{2032}}{3}\) ta có \(A = \left\{ {2032;2033;2024} \right\}\)(Chọn)

Vậy \(3\left| {{m_1} - {m_2}} \right| = 4057\) nên d) đúng