Xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a .

Ta có tam giác ABC đều.

Gọi O là trực tâm của tam giác đồng thời là giao điểm ba đường phân giác trong.

Vậy O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC . Ta có: BAH^=CAH^=60°2=30°

Xét tam giác AHB vuông tại H có cạnh huyền AB=a,BAH^=30°

Theo định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AH=AB⋅cosBAH=a⋅cos30°=a32.

(Lưu ý: Có thể kết luận ngay \({\rm{AH}} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2}\) vì đều cạnh a ).

Mặt khác tam giác ABC đều nên trực tâm O cũng là trọng tâm \( \Rightarrow {\rm{OH}} = \frac{1}{3}{\rm{AH}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{6}.\)

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng \(\frac{{{\rm{a}}\sqrt 3 }}{6}\).

Nhận xét: Trong tam giác đều tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.