Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng

a) Gọi \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của tamgiác đều \(ABC\) thì \(O\) đồng thời là trọng tâm và trực tâm của tam giác.

Ta có \(OA = OB = OC = \frac{2}{3}AH\) (\(H\) là chân đường cao kẻ từ \[A).\]

Do đó, \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC.\)

Mặt khác, xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\).

Theo định lí Pythagore, ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

Suy ra \(A{H^2} = A{B^2} - H{B^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}\) nên \(AH = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(AO = \frac{2}{3}AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) (tính chất trọng tâm).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh \(a\) có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)