Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.

Lời giải:

 

Xác định (x_G; y_G) là tọa độ của điểm G.

Theo công thức tính trọng tâm tam giác ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 4 + 0}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{0 + 0 + m}}{3} = \frac{m}{3}\end{array} \right.\]

 

Vậy \[G\left( {1;\frac{m}{3}} \right).\]

Do \[\widehat {AGB} = 90^\circ \] hay \[BG \bot AG\] nên \[\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {AG} = 0\] (1)

Ta có \[\overrightarrow {BG} = \left( {1 - 4;\frac{m}{3} - 0} \right) = \left( { - 3;\frac{m}{3}} \right)\] và \[\overrightarrow {AG} = \left( {1 + 1;\frac{m}{3} - 0} \right) = \left( {2;\frac{m}{3}} \right)\]

Khi đó \[\overrightarrow {BG} \cdot \overrightarrow {AG} = \frac{{{m^2}}}{9} - 6\]   (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

\[\frac{{{m^2}}}{9} - 6 = 0\]

m² = 54

\[m = 3\sqrt 6 \] hoặc \[m = - 3\sqrt 6 \]

Vậy có 2 giá trị của m cần tìm là \[m = 3\sqrt 6 ,\,\,m = - 3\sqrt 6 .\]