( α ) : x + 2 y + 2 z − 6 = 0 . a)

Theo định nghĩa vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\).

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \[{\vec n_{\left( \beta  \right)}} = \left( {1;2;2} \right)\].

Do đó, \(\left( \beta  \right)\) có phương trình: \(x - 1 + 2\left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 15 = 0\).

Mặt phẳng \(\left( \gamma  \right)\) đi qua hai điểm \(O\) và \(A\) đồng thời vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên

\[\left\{ \begin{array}{l}{{\vec n}_{\left( \gamma  \right)}} \bot \overrightarrow {OA}  = \left( {1;2;5} \right)\\{{\vec n}_{\left( \gamma  \right)}} \bot \overrightarrow n  = \left( {1;2;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow {\vec n_{\left( \gamma  \right)}} = \left[ {\overrightarrow {OA} \,,\,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 6;3;0} \right) =  - 3\left( {2; - 1;0} \right)\].

Do đó \(\left( \gamma  \right)\) có phương trình: \(2x - y = 0\).

Do \(M \in \left( \alpha  \right):x = 6 - 2y - 2z \Rightarrow M\left( {6 - 2b - 2c;b;c} \right);\,\,a = 6 - 2b - 2c\).

Vì \(A,O,M\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {OM} \) cùng phương \(\overrightarrow {OA} \).

Mà \(\overrightarrow {OM}  = \left( {6 - 2b - 2c;b;c} \right);\,\,\overrightarrow {OA}  = \left( {1;2;5} \right)\). Suy ra \(\frac{{6 - 2b - 2c}}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{4}{5}\\c = 2.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{2}{5};\frac{4}{5};2} \right) \Rightarrow 5a + 10b + c = 2 + 8 + 2 = 12\).

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,         c) Đúng,      d) Đúng.