Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.

+) Số cách chọn 1 nữ: 5 cách

+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)

+) Số cách chọn 2 nam còn lại: \(C_{13}^2\)

Suy ra có \(5A_{15}^2.C_{13}^2\) cách chọn cho trường hợp này.

• Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.

+) Số cách chọn 2 nữ: \(C_5^2\) cách.

+) Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)cách.

+) Số cách chọn 1 còn lại: 13 cách.

Suy ra có \[13A_{15}^2.C_5^2\] cách chọn cho trường hợp này.

• Trường hợp 3: Chọn 3 nữ và 2 nam.

+) Số cách chọn 3 nữ : \(C_5^3\) cách.

+) Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\) cách.

Suy ra có \(A_{15}^2.C_5^3\) cách chọn cho trường hợp 3.

Vì các trường hợp là rời nhau. Vậy nên ta có \(5A_{15}^2.C_{13}^2 + 13A_{15}^2.C_5^2 + A_{15}^2.C_5^3 = 111\,300\) cách.

Với n là số nguyên dương tùy ý lớn hơn 1, mệnh đề nào dưới đây đúng