Với mọi x, y, z chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx.

Hướng dẫn giải

Xét hiệu, ta có:

P = x² + y² + z² − xy − yz − zx

2P = 2x² + 2y² + 2z² − 2xy − 2yz − 2xz

2P = (x² – 2xy + y²) + (y² – 2yz + z²) + (z² – 2zx + z²)

2P = (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0

Suy ra P ≥ 0 hay x² + y² + z² – xy – yz – zx ≥ 0

Vậy x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz (đpcm).