Đáp án: \(1545\).

Hỏi tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô màu đậm là bao nhiêu cm vuông? Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị của cm vuông. (ảnh 2)

Đặt \({A_1}{B_1} = a\), ta có:

* Diện tích hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là \({S_{V1}} = {a^2}\).

Bán kính hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là \({R_1} = \frac{{{A_1}{B_1}}}{2} = \frac{a}{2}\) Þ Diện tích hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) là \({S_{T1}} = \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{4}\).

* Hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có đường chéo \({A_2}{C_2} = 2{R_1} = a\) Þ Cạnh \({A_2}{B_2} = \frac{{{A_2}{C_2}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Þ Diện tích hình vuông \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là \({S_{V2}} = {\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

Bán kính hình tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({R_2} = \frac{{{A_2}{B_2}}}{2} = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\)

Þ Diện tích hình tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({S_{T2}} = \pi .{\left( {\frac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{8}\).

* Hình vuông \({A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\) có đường chéo \({A_3}{C_3} = 2{R_2} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\) Þ Cạnh \({A_3}{B_3} = \frac{a}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{a}{2}\)

Þ Diện tích hình vuông \({A_3}{B_3}{C_3}{D_3}\) là \({S_{V3}} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{4}\)

Bán kính hình tròn \(\left( {{C_3}} \right)\) là \({R_3} = \frac{1}{2}{A_3}{B_3} = \frac{a}{4}\)

Þ Diện tích hình tròn \(\left( {{C_3}} \right)\) là \[{S_{T3}} = \pi .{\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{{16}}\].

* Tiếp tục theo quy luật trên, ta có:

Diện tích các hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1},{A_2}{B_2}{C_2}{D_2},{A_3}{B_3}{C_3}{D_3},...\) lần lượt là \({a^2},\frac{{{a^2}}}{2},\frac{{{a^2}}}{4},...\) lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({S_{V1}} = {a^2}\), công bội \({q_1} = \frac{1}{2}\).

Þ Tổng diện tích các hình vuông là \({S_V} = {a^2} + \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{a^2}}}{4} + ... = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2{a^2}\)

Diện tích các hình tròn nội tiếp tương ứng lần lượt là \(\frac{{\pi {a^2}}}{4},\frac{{\pi {a^2}}}{8},\frac{{\pi {a^2}}}{{16}},...\)lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu \({S_{T1}} = \frac{{\pi {a^2}}}{4}\), công bội \({q_2} = \frac{1}{2}\).

Þ Tổng diện các hình tròn tương ứng là \({S_T} = \frac{{\pi {a^2}}}{4} + \frac{{\pi {a^2}}}{8} + \frac{{\pi {a^2}}}{{16}} + ... = \frac{{\frac{{\pi {a^2}}}{4}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{\pi {a^2}}}{2}\)

Þ Tổng diện tích phần tô màu đậm là: \(S = {S_V} - {S_T} = 2{a^2} - \frac{{\pi {a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}\left( {4 - \pi } \right)}}{2}\left( {c{m^2}} \right)\)

Với \(a = 60\left( {cm} \right)\), ta có tổng diện tích phần tô màu đậm là: \(S = \frac{{{{60}^2}.\left( {4 - \pi } \right)}}{2} \approx 1545\left( {c{m^2}} \right)\)

Với mọi số thực dương a thì \log _3}( {27a} ) - log _3}a bằng